Номер 879, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два одинаковых шарика (массы $m$, радиусы $r$, заряды $q$, плотность $\rho$)

Две одинаковые нити (длина $l$)

Жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и плотностью $\rho_1$.

Угол расхождения нитей в воздухе равен углу расхождения в диэлектрике.

Найти:

Плотность вещества шариков $\rho$.

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков. Пусть нити расходятся на угол $2\alpha$, тогда угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\alpha$.

1. Случай в воздухе.

На шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, сила натяжения нити $T_{возд}$ и сила кулоновского отталкивания $F_{С, возд}$.

Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T_{возд} \sin\alpha = F_{С, возд}$

$T_{возд} \cos\alpha = F_g$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\alpha = \frac{F_{С, возд}}{F_g}$ (1)

Силу тяжести можно выразить через плотность $\rho$ и объем $V$ шарика: $F_g = mg = \rho V g$.

Подставим это в уравнение (1):

$\tan\alpha = \frac{F_{С, возд}}{\rho V g}$ (2)

2. Случай в жидком диэлектрике.

На шарик, погруженный в жидкость, действуют четыре силы: сила тяжести $F_g$, сила натяжения нити $T_{жидк}$, сила кулоновского отталкивания в диэлектрике $F_{С, жидк}$ и выталкивающая сила Архимеда $F_A$.

По условию, угол отклонения нити от вертикали тот же самый и равен $\alpha$.

Запишем условия равновесия:

$T_{жидк} \sin\alpha = F_{С, жидк}$

$T_{жидк} \cos\alpha + F_A = F_g$

Из второго уравнения выразим $T_{жидк} \cos\alpha = F_g - F_A$. Разделив первое уравнение на это выражение, получим:

$\tan\alpha = \frac{F_{С, жидк}}{F_g - F_A}$ (3)

Сила кулоновского отталкивания в диэлектрике с проницаемостью $\epsilon$ ослабляется в $\epsilon$ раз по сравнению с вакуумом (воздухом): $F_{С, жидк} = \frac{F_{С, возд}}{\epsilon}$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_1 V g$, где $\rho_1$ – плотность жидкости.

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$\tan\alpha = \frac{F_{С, возд}/\epsilon}{\rho V g - \rho_1 V g} = \frac{F_{С, возд}}{\epsilon(\rho - \rho_1)Vg}$ (4)

3. Нахождение плотности $\rho$.

Поскольку углы в обоих случаях одинаковы, левые части уравнений (2) и (4) равны. Следовательно, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{F_{С, возд}}{\rho V g} = \frac{F_{С, возд}}{\epsilon(\rho - \rho_1)Vg}$

Сократим одинаковые множители $F_{С, возд}$ и $Vg$ (они не равны нулю):

$\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\epsilon(\rho - \rho_1)}$

Отсюда получаем:

$\epsilon(\rho - \rho_1) = \rho$

$\epsilon\rho - \epsilon\rho_1 = \rho$

$\epsilon\rho - \rho = \epsilon\rho_1$

$\rho(\epsilon - 1) = \epsilon\rho_1$

Выражаем искомую плотность шариков $\rho$:

$\rho = \frac{\epsilon \rho_1}{\epsilon - 1}$

Ответ: Плотность вещества шариков определяется формулой $\rho = \frac{\epsilon \rho_1}{\epsilon - 1}$.