Номер 872, страница 161 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Три одинаковых одноименных заряда $q$ в вершинах равностороннего треугольника.

Результирующая сила на каждый заряд $\vec{F}_{рез} = \vec{0}$.

Найти:

Заряд $q_1$, который нужно поместить в центр треугольника.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов, например, на заряд $q$, расположенный в вершине C равностороннего треугольника со стороной $a$. На этот заряд действуют три силы: сила $\vec{F}_A$ со стороны заряда в вершине A, сила $\vec{F}_B$ со стороны заряда в вершине B и сила $\vec{F}_1$ со стороны заряда $q_1$, расположенного в центре треугольника O.

По принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на заряд в вершине C, равна векторной сумме этих сил:

$\vec{F}_{рез} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_1$

По условию задачи, система зарядов находится в равновесии, что означает $\vec{F}_{рез} = \vec{0}$.

$\vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_1 = \vec{0}$

Из этого следует, что сила $\vec{F}_1$ должна уравновешивать результирующую сил $\vec{F}_{AB} = \vec{F}_A + \vec{F}_B$. То есть, $\vec{F}_1 = - \vec{F}_{AB}$. Это означает, что сила $\vec{F}_1$ должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе $\vec{F}_{AB}$.

Так как заряды в вершинах одноименные, силы $\vec{F}_A$ и $\vec{F}_B$ являются силами отталкивания. Их модули по закону Кулона равны:

$F_A = F_B = F = k \frac{q \cdot q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

Угол между векторами $\vec{F}_A$ и $\vec{F}_B$ равен углу при вершине равностороннего треугольника, то есть $60^\circ$. Найдем модуль их результирующей $\vec{F}_{AB}$, используя теорему косинусов для векторов:

$F_{AB} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos(60^\circ)} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = F\sqrt{3}$

$F_{AB} = \sqrt{3} k \frac{q^2}{a^2}$

Вектор $\vec{F}_{AB}$ направлен по биссектрисе угла C (из-за симметрии), то есть вдоль линии, соединяющей центр треугольника O и вершину C, в направлении от центра.

Сила $\vec{F}_1$, действующая со стороны заряда $q_1$ на заряд $q$, должна быть направлена в противоположную сторону, то есть к центру треугольника. Это означает, что сила $\vec{F}_1$ является силой притяжения, следовательно, заряды $q$ и $q_1$ должны быть разноименными. Если $q > 0$, то $q_1 < 0$.

Модуль силы $\vec{F}_1$ определяется по закону Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q|}{r^2}$

где $r$ — расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины. Это расстояние равно $2/3$ высоты треугольника. Высота $h = a \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$r = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Следовательно, $r^2 = \frac{a^2}{3}$.

Подставим $r^2$ в формулу для $F_1$:

$F_1 = k \frac{|q_1| q}{a^2/3} = 3k \frac{|q_1| q}{a^2}$

Для равновесия необходимо, чтобы модули сил $F_1$ и $F_{AB}$ были равны:

$F_1 = F_{AB}$

$3k \frac{|q_1| q}{a^2} = \sqrt{3} k \frac{q^2}{a^2}$

Сократим общие множители ($k$, $q$, $a^2$):

$3|q_1| = \sqrt{3} q$

$|q_1| = \frac{\sqrt{3}}{3} q = \frac{q}{\sqrt{3}}$

Учитывая, что знаки зарядов $q$ и $q_1$ должны быть противоположными, получаем:

$q_1 = -\frac{q}{\sqrt{3}}$

Ответ: чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю, в центр треугольника нужно поместить заряд $q_1 = -\frac{q}{\sqrt{3}}$.