Номер 877, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$F_{упр} = 0,10$ Н

$l = 10$ см

$m = 5,0$ г

$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$m = 5,0 \text{ г} = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$q$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков в положении равновесия. На шарик действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити; и сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $\vec{F}_e$, направленная горизонтально от другого шарика.

Пусть нить отклонена от вертикали на угол $\alpha$. Условие равновесия шарика в векторной форме записывается как сумма всех сил, равная нулю: $\vec{F}_{упр} + m\vec{g} + \vec{F}_e = 0$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально.

Проекция на ось OY: $F_{упр} \cos{\alpha} - mg = 0$

Проекция на ось OX: $F_{упр} \sin{\alpha} - F_e = 0$

Из первого уравнения выразим косинус угла $\alpha$:

$\cos{\alpha} = \frac{mg}{F_{упр}}$

Вычислим силу тяжести:

$mg = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0,05 \text{ Н}$.

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos{\alpha} = \frac{0,05 \text{ Н}}{0,10 \text{ Н}} = 0,5$.

Данное значение косинуса соответствует углу $\alpha = 60^{\circ}$.

Зная угол, найдем его синус: $\sin{\alpha} = \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из второго уравнения равновесия найдем силу Кулона:

$F_e = F_{упр} \sin{\alpha} = 0,10 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,05\sqrt{3} \text{ Н}$.

Расстояние $r$ между центрами шариков в положении равновесия найдем из геометрии. Оно равно удвоенному горизонтальному смещению одного шарика: $r = 2l \sin{\alpha}$.

$r = 2 \cdot 0,1 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,1\sqrt{3} \text{ м}$.

Сила Кулона определяется по закону Кулона: $F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$. Так как по условию шарикам сообщили одинаковый заряд, то $q_1 = q_2 = q$, и формула принимает вид: $F_e = k \frac{q^2}{r^2}$.

Выразим из этой формулы искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{F_e r^2}{k}$

$q = \sqrt{\frac{F_e r^2}{k}}$

Подставим числовые значения в полученное выражение:

$q = \sqrt{\frac{0,05\sqrt{3} \text{ Н} \cdot (0,1\sqrt{3} \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}} = \sqrt{\frac{0,05\sqrt{3} \cdot 0,01 \cdot 3}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл}$

$q = \sqrt{\frac{0,0015\sqrt{3}}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл} \approx \sqrt{\frac{0,0015 \cdot 1,732}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл} \approx \sqrt{\frac{2,598 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл}$

$q \approx \sqrt{0,2887 \cdot 10^{-12}} \text{ Кл} \approx 0,537 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем $q \approx 0,54 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$ (или $0,54 \text{ мкКл}$).

Ответ: Заряд, который необходимо сообщить шарикам, равен $q \approx 0,54 \cdot 10^{-6}$ Кл.