Номер 873, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю.

1. Нахождение значения заряда q₁

Сначала рассмотрим центральный заряд $q_1$. Силы, действующие на него со стороны четырех зарядов $q$, расположенных в вершинах квадрата, попарно компенсируют друг друга из-за симметрии. Силы от зарядов, находящихся на одной диагонали, равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом, заряд $q_1$ всегда находится в равновесии, независимо от его величины.

Теперь рассмотрим один из зарядов в вершине квадрата, например, в правой верхней. Пусть сторона квадрата равна $a$. На этот заряд действуют силы со стороны трех других зарядов в вершинах и со стороны центрального заряда $q_1$.

По условию, заряд $q_1$ отрицателен. Чтобы он притягивал заряды в вершинах (что необходимо для компенсации их взаимного отталкивания), заряды $q$ должны быть положительными.

Силы, действующие на выбранный заряд $q$ со стороны других зарядов:

• $ \vec{F}_1 $ — сила от заряда $q$ в левой верхней вершине, направлена вправо. Её модуль: $ F_1 = k \frac{q^2}{a^2} $.
• $ \vec{F}_2 $ — сила от заряда $q$ в правой нижней вершине, направлена вверх. Её модуль: $ F_2 = k \frac{q^2}{a^2} $.
• $ \vec{F}_3 $ — сила от заряда $q$ в левой нижней вершине (по диагонали). Расстояние между ними $ a\sqrt{2} $. Сила направлена вдоль диагонали от центра. Её модуль: $ F_3 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2} $.
• $ \vec{F}_4 $ — сила притяжения со стороны центрального заряда $q_1$. Расстояние от вершины до центра квадрата равно $ r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} $. Сила направлена к центру вдоль диагонали. Её модуль: $ F_4 = k \frac{q|q_1|}{r^2} = k \frac{q|q_1|}{(a/\sqrt{2})^2} = 2k \frac{q|q_1|}{a^2} $.

Для равновесия векторная сумма этих сил должна быть равна нулю: $ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = 0 $.

Удобно спроецировать все силы на направление диагонали, на которой лежат силы $ \vec{F}_3 $ и $ \vec{F}_4 $. Угол между силами $ \vec{F}_1 $, $ \vec{F}_2 $ и этой диагональю составляет $45^\circ$. Сумма проекций сил, направленных от центра, должна быть равна силе, направленной к центру.

$ F_1 \cos(45^\circ) + F_2 \cos(45^\circ) + F_3 = F_4 $

$ k \frac{q^2}{a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} + k \frac{q^2}{a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} + k \frac{q^2}{2a^2} = 2k \frac{q|q_1|}{a^2} $

Сократим обе части на $ k \frac{q}{a^2} $ (считая $q \neq 0$):

$ q \frac{\sqrt{2}}{2} + q \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{q}{2} = 2|q_1| $

$ q\sqrt{2} + \frac{q}{2} = 2|q_1| $

$ q(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = 2|q_1| $

$ |q_1| = q \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}\right) = q \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} $

Поскольку заряд $q_1$ отрицателен, получаем:

$ q_1 = -q \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} $

Ответ: Значение заряда должно быть $ q_1 = -q \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} $.

2. Будет ли равновесие устойчивым?

Чтобы равновесие системы было устойчивым, необходимо, чтобы при малом смещении любого из зарядов из положения равновесия возникала сила, стремящаяся вернуть его обратно.

Этот вопрос связан с теоремой Ирншоу, которая гласит, что система точечных зарядов, находящихся под действием только электростатических сил, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что для любого положения равновесия всегда найдется направление, при смещении вдоль которого на заряд будет действовать сила, уводящая его еще дальше от положения равновесия.

Можно проанализировать устойчивость для каждого заряда:

• Центральный заряд $q_1$: Если сместить его из центра в любом направлении, то равнодействующая сил от четырех зарядов $q$ будет направлена обратно к центру. Таким образом, равновесие центрального заряда является устойчивым.
• Заряды в вершинах $q$: Для них ситуация сложнее. Можно показать, что при смещении заряда $q$ перпендикулярно плоскости квадрата возникает возвращающая сила, то есть в этом направлении равновесие устойчиво. Однако, согласно следствию из теоремы Ирншоу (вытекающему из уравнения Лапласа для потенциала, $ \nabla^2\phi = 0 $), если равновесие устойчиво в одном направлении, оно обязательно должно быть неустойчивым в другом. В данном случае равновесие зарядов в вершинах будет неустойчивым при смещении в плоскости квадрата.

Поскольку для устойчивости всей системы необходимо, чтобы равновесие каждого ее элемента было устойчивым по всем направлениям, а заряды в вершинах находятся в неустойчивом равновесии, то и вся система в целом находится в состоянии неустойчивого равновесия.

Ответ: Равновесие будет неустойчивым.