Номер 867, страница 161 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

начальные заряды: $q_1, q_2$;

начальное расстояние: $r$;

конечное расстояние: $r' = n \cdot r$;

начальная сила взаимодействия: $F_1$;

конечная сила взаимодействия: $F_2 = F_1/m$;

шарики притягиваются, $q_2 < 0$.

Найти:

$q_1$

Решение:

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона. Модуль силы до соприкосновения:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Так как шарики притягиваются, их заряды имеют противоположные знаки. По условию $q_2 < 0$, следовательно, $q_1 > 0$. Тогда $|q_1 q_2| = -q_1 q_2$.

$F_1 = -k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

После соприкосновения одинаковых шариков (предполагаем, что они одинаковые, как это принято в задачах такого типа) их суммарный заряд $q_1 + q_2$ распределяется поровну. Заряд каждого шарика становится равен:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

Шарики раздвигают на расстояние $r' = n \cdot r$. Модуль новой силы взаимодействия:

$F_2 = k \frac{(q')^2}{(r')^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{(n \cdot r)^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4n^2 r^2}$

По условию, модуль силы уменьшился в $m$ раз, то есть $F_1 = m F_2$. Подставим выражения для сил:

$-k \frac{q_1 q_2}{r^2} = m \cdot k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4n^2 r^2}$

Сократим общие множители $k$ и $r^2$ и преобразуем уравнение:

$-q_1 q_2 = \frac{m(q_1 + q_2)^2}{4n^2}$

$-4n^2 q_1 q_2 = m(q_1^2 + 2q_1q_2 + q_2^2)$

$m q_1^2 + 2m q_1 q_2 + 4n^2 q_1 q_2 + m q_2^2 = 0$

$m q_1^2 + (2m + 4n^2) q_2 \cdot q_1 + m q_2^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $q_1$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Здесь $x=q_1$, $a=m$, $b=(2m + 4n^2) q_2$, $c=m q_2^2$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = ((2m + 4n^2)q_2)^2 - 4(m)(mq_2^2) = ( (2m + 4n^2)^2 - 4m^2 )q_2^2$

$D = (4m^2 + 16mn^2 + 16n^4 - 4m^2)q_2^2 = (16mn^2 + 16n^4)q_2^2 = 16n^2(m+n^2)q_2^2$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{16n^2(m+n^2)q_2^2} = 4n\sqrt{m+n^2}|q_2|$. Так как $q_2 < 0$, то $|q_2| = -q_2$.

$\sqrt{D} = -4n q_2 \sqrt{m+n^2}$

Находим корни уравнения для $q_1$:

$q_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(2m + 4n^2)q_2 \pm (-4n q_2 \sqrt{m+n^2})}{2m}$

$q_1 = \frac{-2(m + 2n^2)q_2 \mp 4n q_2 \sqrt{m+n^2}}{2m} = q_2 \frac{-(m + 2n^2) \mp 2n \sqrt{m+n^2}}{m}$

$q_1 = -q_2 \frac{m + 2n^2 \pm 2n \sqrt{m+n^2}}{m}$

Мы получили два возможных значения для $q_1$. Поскольку $q_2 < 0$, то множитель $-q_2$ положителен. Выражение в дроби также всегда положительно, так как $m, n > 0$. Следовательно, оба решения для $q_1$ положительны и удовлетворяют условию притяжения шариков до соприкосновения. Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $q_1 = -q_2 \frac{m + 2n^2 + 2n \sqrt{m+n^2}}{m}$ или $q_1 = -q_2 \frac{m + 2n^2 - 2n \sqrt{m+n^2}}{m}$.