Номер 861, страница 154 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$P = 0,60 \text{ кВт}$

$\eta = 80 \%$

$m = 1,0 \text{ кг}$

$t_0 = -20 \text{ °C}$

$t = 50 \text{ °C}$

Справочные данные:

Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Температура плавления льда, $t_{пл} = 0 \text{ °C}$

Перевод в СИ:

$P = 0,60 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 600 \text{ Вт}$

$\eta = 80 \% = 0,8$

Найти:

$\tau$ - ?

Решение

Чтобы найти общее время нагрева, сначала определим, какое количество теплоты необходимо сообщить льду для его нагревания, плавления и последующего нагревания образовавшейся воды.

Процесс состоит из трех этапов:

1. Нагревание льда от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления $t_{пл}$. Количество теплоты $Q_1$ рассчитывается по формуле:

$Q_1 = c_л \cdot m \cdot (t_{пл} - t_0)$

2. Плавление льда при температуре $t_{пл}$. Количество теплоты $Q_2$ рассчитывается по формуле:

$Q_2 = \lambda \cdot m$

3. Нагревание полученной воды от температуры $t_{пл}$ до конечной температуры $t$. Количество теплоты $Q_3$ рассчитывается по формуле:

$Q_3 = c_в \cdot m \cdot (t - t_{пл})$

Общее полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, необходимое для всего процесса, равно сумме теплоты на всех этапах:

$Q_{полезн} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = c_л m (t_{пл} - t_0) + \lambda m + c_в m (t - t_{пл})$

Это полезное количество теплоты передается от электроплитки. Полная энергия, выделяемая плиткой за время $\tau$, равна $Q_{полн} = P \cdot \tau$.

Коэффициент полезного действия (КПД) $\eta$ связывает полезное количество теплоты и полную энергию:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$

Отсюда, $Q_{полезн} = \eta \cdot Q_{полн} = \eta \cdot P \cdot \tau$.

Приравняем два выражения для $Q_{полезн}$:

$\eta P \tau = m [c_л(t_{пл} - t_0) + \lambda + c_в(t - t_{пл})]$

Выразим из этой формулы искомое время $\tau$:

$\tau = \frac{m [c_л(t_{пл} - t_0) + \lambda + c_в(t - t_{пл})]}{\eta P}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\tau = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot [2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0 \text{ °C} - (-20 \text{ °C})) + 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (50 \text{ °C} - 0 \text{ °C})]}{0,8 \cdot 600 \text{ Вт}}$

$\tau = \frac{1 \cdot [2100 \cdot 20 + 330000 + 4200 \cdot 50]}{480} \text{ с}$

$\tau = \frac{42000 + 330000 + 210000}{480} \text{ с}$

$\tau = \frac{582000}{480} \text{ с} = 1212,5 \text{ с}$

Можно перевести это время в минуты: $1212,5 \text{ с} / 60 \approx 20,2 \text{ мин}$.

Ответ: $\tau = 1212,5 \text{ с}$.