Номер 856, страница 153 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная температура воды $t_1 = 10,0°C$

Температура водяного пара $t_2 = 100°C$

Конечная температура смеси $t = 50,0°C$

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота парообразования воды $L = 2,3 \cdot 10^6 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:

При расчете количества теплоты используются разности температур, поэтому $\Delta t(^\circ\text{C}) = \Delta T(\text{К})$. Перевод температур в Кельвины не обязателен.

$t_1 = 10,0°C \implies T_1 = 283,15 \, \text{К}$

$t_2 = 100°C \implies T_2 = 373,15 \, \text{К}$

$t = 50,0°C \implies T = 323,15 \, \text{К}$

Остальные величины даны в единицах СИ.

Найти:

$k$ - процентное содержание массы воды из пара от общей массы воды.

Решение:

В процессе смешивания пара и воды происходит теплообмен. Водяной пар отдает тепло, а холодная вода его получает. По закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное паром, равно количеству теплоты, полученному водой. Составим уравнение теплового баланса.

Пусть $m_в$ — начальная масса воды, а $m_п$ — масса пара, который сконденсировался.

Количество теплоты, отданное паром ($Q_{отд}$), складывается из двух процессов:

1. Конденсация пара в воду при температуре $t_2 = 100°C$:

$Q_1 = L \cdot m_п$

2. Охлаждение образовавшейся из пара воды от $t_2 = 100°C$ до конечной температуры $t = 50,0°C$:

$Q_2 = c \cdot m_п \cdot (t_2 - t)$

Суммарное отданное тепло:

$Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c \cdot m_п \cdot (t_2 - t) = m_п (L + c(t_2 - t))$

Количество теплоты, полученное холодной водой ($Q_{пол}$), идет на ее нагревание от $t_1 = 10,0°C$ до $t = 50,0°C$:

$Q_{пол} = c \cdot m_в \cdot (t - t_1)$

Составим уравнение теплового баланса $Q_{отд} = Q_{пол}$:

$m_п (L + c(t_2 - t)) = c \cdot m_в \cdot (t - t_1)$

Из этого уравнения найдем отношение массы пара к массе воды:

$\frac{m_п}{m_в} = \frac{c(t - t_1)}{L + c(t_2 - t)}$

Подставим числовые значения:

$\frac{m_п}{m_в} = \frac{4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (50,0°C - 10,0°C)}{2,3 \cdot 10^6 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (100°C - 50,0°C)}$

$\frac{m_п}{m_в} = \frac{4200 \cdot 40}{2300000 + 4200 \cdot 50} = \frac{168000}{2300000 + 210000} = \frac{168000}{2510000} \approx 0,06693$

Искомая величина $k$ — это процентное отношение массы воды, образовавшейся из пара ($m_п$), к массе всей воды в сосуде ($m_в + m_п$):

$k = \frac{m_п}{m_в + m_п} \cdot 100\%$

Разделим числитель и знаменатель дроби на $m_в$:

$k = \frac{\frac{m_п}{m_в}}{\frac{m_в}{m_в} + \frac{m_п}{m_в}} \cdot 100\% = \frac{\frac{m_п}{m_в}}{1 + \frac{m_п}{m_в}} \cdot 100\%$

Подставим найденное отношение масс:

$k = \frac{0,06693}{1 + 0,06693} \cdot 100\% = \frac{0,06693}{1,06693} \cdot 100\% \approx 0,06273 \cdot 100\% \approx 6,27\%$

Ответ: $k \approx 6,27\%$.