Номер 851, страница 153 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10$ кг (масса медного калориметра)

$m_1 = 50$ г = $0,05$ кг (масса воды)

$t_1 = 5,0$ °C (начальная температура калориметра и воды)

$m_3 = 0,30$ кг (масса льда)

$t_2 = -30$ °C (начальная температура льда)

Справочные данные:

$c_м = 390 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость меди)

$c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость воды)

$c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость льда)

$\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$ (удельная теплота плавления льда)

Найти:

$t$ - ? (конечная температура в калориметре)

Решение:

Прежде чем составлять уравнение теплового баланса, определим, в каком агрегатном состоянии будет находиться вода в конечном итоге. Для этого сравним количество теплоты, которое могут отдать вода и калориметр при охлаждении до $0$ °C, с количеством теплоты, необходимым для нагревания льда до $0$ °C.

1. Количество теплоты, которое отдадут вода и калориметр при охлаждении до $0$ °C:

$Q_{отд} = (c_м m + c_в m_1)(t_1 - 0)$

$Q_{отд} = (390 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0,10 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0,05 \text{ кг}) \cdot (5,0 \text{ °C} - 0 \text{ °C})$

$Q_{отд} = (39 \text{ Дж/°C} + 210 \text{ Дж/°C}) \cdot 5,0 \text{ °C} = 249 \text{ Дж/°C} \cdot 5,0 \text{ °C} = 1245 \text{ Дж}$

2. Количество теплоты, необходимое для нагревания всего льда до температуры плавления ($0$ °C):

$Q_{нагр.льда} = c_л m_3 (0 - t_2)$

$Q_{нагр.льда} = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0,30 \text{ кг} \cdot (0 \text{ °C} - (-30 \text{ °C}))$

$Q_{нагр.льда} = 630 \text{ Дж/°C} \cdot 30 \text{ °C} = 18900 \text{ Дж}$

Сравнивая полученные значения, видим, что $Q_{отд} < Q_{нагр.льда}$ ($1245 \text{ Дж} < 18900 \text{ Дж}$). Это означает, что тепла, выделившегося при охлаждении воды и калориметра до $0$ °C, не хватит даже для того, чтобы нагреть весь лед до $0$ °C. Следовательно, вся вода замерзнет, и конечная установившаяся температура $t$ будет ниже $0$ °C.

Составим уравнение теплового баланса. Суммарное количество теплоты, отданное более теплыми телами (вода и калориметр), равно количеству теплоты, полученному более холодным телом (лед). Пусть конечная температура системы равна $t$.

Теплота, отданная калориметром при охлаждении от $t_1$ до $t$:

$Q_1 = c_м m (t_1 - t)$

Теплота, отданная водой при охлаждении от $t_1$ до $0$ °C, ее кристаллизации и последующем охлаждении образовавшегося льда от $0$ °C до $t$:

$Q_2 = c_в m_1 (t_1 - 0) + \lambda m_1 + c_л m_1 (0 - t)$

Теплота, полученная льдом при нагревании от $t_2$ до $t$:

$Q_3 = c_л m_3 (t - t_2)$

Уравнение теплового баланса: $Q_1 + Q_2 = Q_3$

$c_м m (t_1 - t) + c_в m_1 t_1 + \lambda m_1 - c_л m_1 t = c_л m_3 (t - t_2)$

Раскроем скобки и выразим искомую температуру $t$:

$c_м m t_1 - c_м m t + c_в m_1 t_1 + \lambda m_1 - c_л m_1 t = c_л m_3 t - c_л m_3 t_2$

$c_м m t_1 + c_в m_1 t_1 + \lambda m_1 + c_л m_3 t_2 = c_л m_3 t + c_л m_1 t + c_м m t$

$t(c_л m_3 + c_л m_1 + c_м m) = (c_м m + c_в m_1)t_1 + \lambda m_1 + c_л m_3 t_2$

$t = \frac{(c_м m + c_в m_1)t_1 + \lambda m_1 + c_л m_3 t_2}{c_л(m_1 + m_3) + c_м m}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{(390 \cdot 0,10 + 4200 \cdot 0,05) \cdot 5,0 + 3,3 \cdot 10^5 \cdot 0,05 + 2100 \cdot 0,30 \cdot (-30)}{2100(0,05 + 0,30) + 390 \cdot 0,10}$

$t = \frac{(39 + 210) \cdot 5,0 + 16500 - 18900}{2100 \cdot 0,35 + 39}$

$t = \frac{249 \cdot 5,0 + 16500 - 18900}{735 + 39}$

$t = \frac{1245 + 16500 - 18900}{774} = \frac{17745 - 18900}{774} = \frac{-1155}{774} \approx -1,492 \text{ °C}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $t \approx -1,5 \text{ °C}$.

Ответ: установившаяся температура в калориметре $t \approx -1,5 \text{ °C}$.