Номер 853, страница 153 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

$t_1 = -15.0 \text{ °C}$

$t_2 = 100 \text{ °C}$

$t = 25.0 \text{ °C}$

$m_2 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Удельная теплоемкость алюминия $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость льда $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Удельная теплота парообразования воды $L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

$m_п$ - ?

$m_л$ - ?

Решение:

В калориметре устанавливается тепловое равновесие. Суммарное количество теплоты, отданное горячими телами (водяным паром), равно суммарному количеству теплоты, полученному холодными телами (калориметром и льдом). Это выражается уравнением теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Конечная масса воды в калориметре $m_2$ складывается из массы растаявшего льда $m_л$ и массы сконденсировавшегося пара $m_п$.

$m_2 = m_л + m_п$ (1)

Теплота, отданная паром, состоит из теплоты, выделившейся при его конденсации, и теплоты, выделившейся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_2$ до $t$:

$Q_{отданное} = L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (t_2 - t)$

Теплота, полученная калориметром и льдом, состоит из:

1. Теплоты, необходимой для нагревания калориметра от $t_1$ до $t$:

$Q_1 = c_{ал} \cdot m \cdot (t - t_1)$

2. Теплоты, необходимой для нагревания льда от $t_1$ до температуры плавления $t_{пл} = 0 \text{ °C}$:

$Q_2 = c_л \cdot m_л \cdot (0 - t_1)$

3. Теплоты, необходимой для плавления льда при $t_{пл} = 0 \text{ °C}$:

$Q_3 = \lambda \cdot m_л$

4. Теплоты, необходимой для нагревания воды (образовавшейся изо льда) от $0 \text{ °C}$ до конечной температуры $t$:

$Q_4 = c_в \cdot m_л \cdot (t - 0)$

Суммарная полученная теплота:

$Q_{полученное} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = c_{ал}m(t-t_1) + c_лm_л(-t_1) + \lambda m_л + c_вm_лt$

$Q_{полученное} = c_{ал}m(t-t_1) + m_л(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)$

Приравняем отданную и полученную теплоту:

$m_п(L + c_в(t_2-t)) = c_{ал}m(t-t_1) + m_л(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $m_л$ и $m_п$. Выразим $m_л$ из уравнения (1):

$m_л = m_2 - m_п$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$m_п(L + c_в(t_2-t)) = c_{ал}m(t-t_1) + (m_2 - m_п)(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $m_п$:

$m_п(L + c_в(t_2-t)) = c_{ал}m(t-t_1) + m_2(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t) - m_п(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)$

$m_п(L + c_в(t_2-t) + c_л(-t_1) + \lambda + c_в t) = c_{ал}m(t-t_1) + m_2(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)$

Отсюда находим массу пара $m_п$:

$m_п = \frac{c_{ал}m(t-t_1) + m_2(c_л(-t_1) + \lambda + c_в t)}{L + c_в(t_2-t) + c_л(-t_1) + \lambda + c_в t}$

Подставим числовые значения:

$m_п = \frac{920 \cdot 0.3 \cdot (25 - (-15)) + 0.5 \cdot (2100 \cdot (0 - (-15)) + 3.3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot 25)}{2.3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot (100-25) + 2100 \cdot (0 - (-15)) + 3.3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot 25}$

$m_п = \frac{920 \cdot 0.3 \cdot 40 + 0.5 \cdot (2100 \cdot 15 + 330000 + 105000)}{2300000 + 4200 \cdot 75 + 2100 \cdot 15 + 330000 + 105000}$

$m_п = \frac{11040 + 0.5 \cdot (31500 + 330000 + 105000)}{2300000 + 315000 + 31500 + 330000 + 105000}$

$m_п = \frac{11040 + 0.5 \cdot 466500}{3081500} = \frac{11040 + 233250}{3081500} = \frac{244290}{3081500} \approx 0.079276 \text{ кг}$

$m_п \approx 79.3 \text{ г}$

Теперь найдем массу льда $m_л$ из уравнения (1):

$m_л = m_2 - m_п = 500 \text{ г} - 79.3 \text{ г} = 420.7 \text{ г}$

Ответ:

Масса сконденсировавшегося пара $m_п \approx 79.3 \text{ г}$, масса льда $m_л \approx 420.7 \text{ г}$.