Номер 850, страница 153 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Температура льда $T_1 = 273 \text{ К}$
Начальная температура свинца $t = 400^\circ\text{С}$
Конечная температура системы $T_2 = 273 \text{ К}$
Масса расплавившегося льда $m = 270 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:
$m = 270 \text{ г} = 0.27 \text{ кг}$
Для удобства расчетов переведем температуры в градусы Цельсия, помня, что изменение температуры в Кельвинах равно изменению в градусах Цельсия ($\Delta T = \Delta t$).
$T_1 = 273 \text{ К} = 0^\circ\text{С}$
$T_2 = 273 \text{ К} = 0^\circ\text{С}$

Справочные данные:
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$
Удельная теплоёмкость свинца $c_1 = 140 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°С)}$
Удельная теплота плавления (кристаллизации) свинца $\lambda_1 = 2.5 \cdot 10^4 \text{ Дж/кг}$
Температура плавления свинца $t_{пл} = 327^\circ\text{С}$

Найти:

Массу свинца $m_1$.

Решение:

При контакте расплавленного свинца и льда происходит теплообмен. Свинец отдает тепло, охлаждаясь и кристаллизуясь, а лед это тепло поглощает и плавится. По закону сохранения энергии, количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты (при условии отсутствия теплопотерь в окружающую среду). Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное свинцом ($Q_{отданное}$), складывается из трёх этапов:

1. Охлаждение жидкого свинца от начальной температуры $t = 400^\circ\text{С}$ до температуры кристаллизации $t_{пл} = 327^\circ\text{С}$:

$Q_1 = c_1 m_1 (t - t_{пл})$

2. Кристаллизация свинца при постоянной температуре $t_{пл}$:

$Q_2 = \lambda_1 m_1$

3. Охлаждение твёрдого свинца от температуры кристаллизации $t_{пл}$ до конечной температуры системы $T_2 = 0^\circ\text{С}$:

$Q_3 = c_1 m_1 (t_{пл} - T_2)$

Суммарное количество отданной теплоты:

$Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = m_1 (c_1(t - t_{пл}) + \lambda_1 + c_1(t_{пл} - T_2))$

Количество теплоты, полученное льдом ($Q_{полученное}$), идет на его плавление, так как лед изначально находится при температуре плавления ($T_1 = 0^\circ\text{С}$):

$Q_{полученное} = \lambda m$

Приравняем выражения для отданной и полученной теплоты:

$m_1 (c_1(t - t_{пл}) + \lambda_1 + c_1(t_{пл} - T_2)) = \lambda m$

Выразим из этого уравнения искомую массу свинца $m_1$:

$m_1 = \frac{\lambda m}{c_1(t - t_{пл}) + \lambda_1 + c_1(t_{пл} - T_2)}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$m_1 = \frac{3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.27 \text{ кг}}{140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}(400^\circ\text{С} - 327^\circ\text{С}) + 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}(327^\circ\text{С} - 0^\circ\text{С})}$

Рассчитаем числитель:

$3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.27 = 89100 \text{ Дж}$

Рассчитаем знаменатель:

$140 \cdot (400 - 327) + 25000 + 140 \cdot (327 - 0) = 140 \cdot 73 + 25000 + 140 \cdot 327 = 10220 + 25000 + 45780 = 81000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найдем массу свинца:

$m_1 = \frac{89100 \text{ Дж}}{81000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{891}{810} = 1.1 \text{ кг}$

Ответ: масса влитого свинца равна $1.1 \text{ кг}$.