Номер 855, страница 153 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса воды $m_1 = 1,0 \text{ кг}$

Масса льда $m_2 = 1,0 \text{ кг}$

Начальная температура воды и льда $T_1 = 273 \text{ К}$

Температура пара $t_2 = 100 \text{ °C}$

Конечная температура воды $t_3 = 20,0 \text{ °C}$

Теплоемкость сосуда $C = 200 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Справочные данные:

Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная теплота парообразования воды $L = 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Перевод в СИ и другие единицы:

Начальная температура в градусах Цельсия: $t_1 = T_1 - 273,15 \approx 273 - 273 = 0 \text{ °C}$.

Разность температур в Кельвинах и градусах Цельсия одинакова, поэтому можно использовать °C в расчетах изменений температуры.

Найти:

Массу пара $m_п$.

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Количество теплоты, отданное паром при конденсации и последующем охлаждении, равно количеству теплоты, полученному льдом для плавления, а затем всей водой и сосудом для нагревания.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

1. Найдем количество теплоты, отданное паром ($Q_{отданное}$). Оно состоит из двух частей:

а) Теплота, выделившаяся при конденсации пара массой $m_п$ при температуре $t_2 = 100 \text{ °C}$:

$Q_{конденсации} = L \cdot m_п$

б) Теплота, выделившаяся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_2 = 100 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_3 = 20,0 \text{ °C}$:

$Q_{охлаждения} = c_в \cdot m_п \cdot (t_2 - t_3)$

Суммарное отданное тепло:

$Q_{отданное} = Q_{конденсации} + Q_{охлаждения} = m_п (L + c_в (t_2 - t_3))$

2. Найдем количество теплоты, полученное системой "лед-вода-сосуд" ($Q_{полученное}$). Оно состоит из трех частей:

а) Теплота, необходимая для плавления всего льда массой $m_2$ при температуре $t_1 = 0 \text{ °C}$:

$Q_{плавления} = \lambda \cdot m_2$

б) Теплота, необходимая для нагревания всей воды (изначальной массой $m_1$ и образовавшейся из растаявшего льда массой $m_2$) от $t_1 = 0 \text{ °C}$ до $t_3 = 20,0 \text{ °C}$:

$Q_{нагревания\_воды} = c_в \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_3 - t_1)$

в) Теплота, необходимая для нагревания сосуда от $t_1 = 0 \text{ °C}$ до $t_3 = 20,0 \text{ °C}$:

$Q_{нагревания\_сосуда} = C \cdot (t_3 - t_1)$

Суммарное полученное тепло:

$Q_{полученное} = Q_{плавления} + Q_{нагревания\_воды} + Q_{нагревания\_сосуда}$

$Q_{полученное} = \lambda \cdot m_2 + c_в \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_3 - t_1) + C \cdot (t_3 - t_1)$

3. Составим уравнение теплового баланса и выразим $m_п$:

$m_п (L + c_в (t_2 - t_3)) = \lambda \cdot m_2 + (c_в (m_1 + m_2) + C) \cdot (t_3 - t_1)$

$m_п = \frac{\lambda \cdot m_2 + (c_в (m_1 + m_2) + C) \cdot (t_3 - t_1)}{L + c_в (t_2 - t_3)}$

4. Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$Q_{полученное} = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 1,0 \text{ кг} + (4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot (1,0 \text{ кг} + 1,0 \text{ кг}) + 200 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot (20,0 \text{ К} - 0 \text{ К})$

$Q_{полученное} = 330000 \text{ Дж} + (8400 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} + 200 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot 20,0 \text{ К}$

$Q_{полученное} = 330000 \text{ Дж} + 8600 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 20,0 \text{ К} = 330000 \text{ Дж} + 172000 \text{ Дж} = 502000 \text{ Дж}$

Рассчитаем знаменатель (тепло, выделяемое 1 кг пара):

$L + c_в (t_2 - t_3) = 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot (100 \text{ К} - 20,0 \text{ К})$

$L + c_в (t_2 - t_3) = 2300000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 80 \text{ К} = 2300000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 336000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 2636000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найдем массу пара:

$m_п = \frac{502000 \text{ Дж}}{2636000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 0,19044 \text{ кг}$

Округлим результат до трех значащих цифр, как в значении $t_3 = 20,0 \text{ °C}$:

$m_п \approx 0,190 \text{ кг}$

Ответ: масса сухого водяного пара, которую необходимо пропустить через воду, составляет приблизительно $0,190 \text{ кг}$.