Номер 858, страница 154 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса воды, $m = 0.60$ кг
Начальная температура воды, $t_1 = 10$ °C
КПД спиртовки, $\eta = 35\%$
Скорость сгорания спирта, $v_{сп} = 2.0 \frac{\text{г}}{\text{мин}}$
Теплоемкость колбы, $C = 0.10 \frac{\text{кДж}}{\text{К}}$
Промежуток времени для испарения, $\tau = 1$ с

Справочные данные:
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
Температура кипения воды, $t_{кип} = 100$ °C
Удельная теплота сгорания спирта, $q_{сп} = 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Удельная теплота парообразования воды, $L_в = 2.26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:
$\eta = 35\% = 0.35$
$v_{сп} = 2.0 \frac{\text{г}}{\text{мин}} = \frac{2.0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{60 \text{ с}} \approx 3.33 \cdot 10^{-5} \frac{\text{кг}}{\text{с}}$
$C = 0.10 \frac{\text{кДж}}{\text{К}} = 100 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Найти:

$\tau_1$ — ?
$m_x$ — ?

Решение:

Через какой промежуток времени $\tau_1$ вода закипит?

1. Сначала определим полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, которое необходимо для нагрева воды и колбы от начальной температуры $t_1$ до температуры кипения $t_{кип}$.

$Q_{полезн} = Q_{воды} + Q_{колбы} = c_в m (t_{кип} - t_1) + C (t_{кип} - t_1) = (c_в m + C)(t_{кип} - t_1)$

2. Общее количество теплоты $Q_{полн}$, выделяемое при сгорании спирта за время $\tau_1$, равно произведению удельной теплоты сгорания спирта $q_{сп}$ на массу сгоревшего спирта $m_{сп}$. Масса сгоревшего спирта равна $m_{сп} = v_{сп} \cdot \tau_1$.

$Q_{полн} = q_{сп} \cdot m_{сп} = q_{сп} \cdot v_{сп} \cdot \tau_1$

3. Коэффициент полезного действия (КПД) спиртовки определяется как отношение полезной теплоты к полной теплоте:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$

4. Подставим выражения для $Q_{полезн}$ и $Q_{полн}$ и выразим искомое время $\tau_1$:

$\eta = \frac{(c_в m + C)(t_{кип} - t_1)}{q_{сп} v_{сп} \tau_1}$

$\tau_1 = \frac{(c_в m + C)(t_{кип} - t_1)}{\eta q_{сп} v_{сп}}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\tau_1 = \frac{(4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0.60 \text{ кг} + 100 \frac{\text{Дж}}{\text{К}})(100 \text{°C} - 10 \text{°C})}{0.35 \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot \frac{2.0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{60 \text{ с}}}$

$\tau_1 = \frac{(2520 + 100) \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 90 \text{ К}}{315 \frac{\text{Дж}}{\text{с}}} = \frac{2620 \cdot 90 \text{ Дж}}{315 \frac{\text{Дж}}{\text{с}}} = \frac{235800}{315} \text{ с} \approx 749 \text{ с}$

Переведем время в минуты для наглядности: $\tau_1 \approx \frac{749}{60} \text{ мин} \approx 12.5 \text{ мин}$.

Ответ: $\tau_1 \approx 749 \text{ с}$ (что составляет примерно $12.5 \text{ мин}$).

Найдите массу $m_x$ воды, которая при кипении будет обращаться в пар каждую секунду ($\tau = 1$ с)

1. Во время кипения температура воды остается постоянной. Вся полезная тепловая мощность спиртовки идет на парообразование.

2. Полезная мощность $P_{полезн}$ — это полезная энергия, передаваемая воде в единицу времени. Она равна произведению КПД на полную мощность $P_{полн}$:

$P_{полезн} = \eta \cdot P_{полн} = \eta \cdot q_{сп} \cdot v_{сп}$

$P_{полезн} = 0.35 \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot \frac{2.0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{60 \text{ с}} = 315 \text{ Вт}$ (или $315 \frac{\text{Дж}}{\text{с}}$).

3. Количество теплоты $Q_x$, необходимое для превращения в пар массы воды $m_x$, вычисляется по формуле:

$Q_x = L_в m_x$

4. Эта теплота сообщается воде за время $\tau = 1$ с, поэтому $Q_x = P_{полезн} \cdot \tau$. Приравняем два выражения для $Q_x$ и найдем массу $m_x$:

$L_в m_x = P_{полезн} \tau$

$m_x = \frac{P_{полезн} \tau}{L_в}$

5. Подставим числовые значения:

$m_x = \frac{315 \frac{\text{Дж}}{\text{с}} \cdot 1 \text{ с}}{2.26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 1.3938 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

Переведем массу в граммы: $m_x \approx 0.139$ г.

Ответ: $m_x \approx 1.39 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$ (или $0.139 \text{ г}$).