Номер 876, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,50 \text{ г}$

$l = 40 \text{ см}$

$r = 5,0 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 5,0 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

$l = 40 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,40 \text{ м}$

$r = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,050 \text{ м}$

Найти:

$q$ - ?

Решение:

Когда шарикам сообщили одинаковые заряды $q$, они оттолкнулись друг от друга под действием силы Кулона и установились на расстоянии $r$ друг от друга. Система находится в равновесии. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков (например, правый). На него действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $F_e$ со стороны другого шарика, направленная горизонтально.

Поскольку шарик находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Пусть $\alpha$ – угол отклонения нити от вертикали.

Условие равновесия в проекциях на оси:

На ось OX: $T \sin(\alpha) - F_e = 0 \implies T \sin(\alpha) = F_e$

На ось OY: $T \cos(\alpha) - F_g = 0 \implies T \cos(\alpha) = mg$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестную силу натяжения $T$:

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan(\alpha) = \frac{F_e}{mg}$

Сила Кулона $F_e$ определяется по закону Кулона:

$F_e = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Подставим выражение для силы Кулона в условие равновесия:

$\tan(\alpha) = \frac{k q^2}{mg r^2}$

Выразим отсюда квадрат заряда $q^2$:

$q^2 = \frac{mg r^2 \tan(\alpha)}{k}$

Угол $\alpha$ найдем из геометрии системы. Две нити и отрезок, соединяющий шарики, образуют равнобедренный треугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью (гипотенуза $l$), вертикалью и половиной расстояния между шариками (противолежащий катет $r/2$).

Из этого треугольника $\sin(\alpha) = \frac{r/2}{l} = \frac{r}{2l}$.

Поскольку длина нити $l = 40$ см значительно больше расстояния $r = 5,0$ см, угол $\alpha$ является малым. Для малых углов можно использовать приближение $\tan(\alpha) \approx \sin(\alpha)$.

$\tan(\alpha) \approx \frac{r}{2l}$

Подставим это приближение в формулу для заряда:

$q^2 \approx \frac{mg r^2}{k} \cdot \frac{r}{2l} = \frac{mg r^3}{2kl}$

Теперь можем найти величину заряда:

$q = \sqrt{\frac{mg r^3}{2kl}}$

Подставим числовые значения в системе СИ (ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$):

$q = \sqrt{\frac{5,0 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^3}{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 0,40 \text{ м}}}$

$q = \sqrt{\frac{5,0 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 \cdot 125 \cdot 10^{-6}}{7,2 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{612,5 \cdot 10^{-9}}{7,2 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{6,125 \cdot 10^{-7}}{7,2 \cdot 10^9}}$

$q = \sqrt{0,8507 \cdot 10^{-16}} \approx 0,922 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность:

$q \approx 9,2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 9,2 \text{ нКл}$

Ответ: $q \approx 9,2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ (или $9,2$ нКл).