Номер 883, страница 163 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$r = 5.3 \cdot 10^{-9}$ см

Рассматривается атом водорода, который состоит из протона в ядре и электрона на орбите. Для решения задачи потребуются следующие константы:

Масса электрона: $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд (модуль заряда электрона и протона): $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона (электрическая постоянная): $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$r = 5.3 \cdot 10^{-9} \text{ см} = 5.3 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5.3 \cdot 10^{-11}$ м

Найти:

$v$ — ?

Решение:

Электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите. Это движение возможно благодаря наличию центростремительной силы, которая удерживает электрон на орбите. В атоме водорода роль этой силы выполняет электростатическая сила притяжения (сила Кулона) между положительно заряженным ядром (протоном) и отрицательно заряженным электроном.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_{цс}$, действующая на электрон, равна:

$F_{цс} = m_e a_{цс} = \frac{m_e v^2}{r}$

где $m_e$ — масса электрона, $v$ — его скорость, а $r$ — радиус орбиты.

Сила Кулона $F_K$ между протоном и электроном определяется выражением:

$F_K = k \frac{|q_p q_e|}{r^2}$

Поскольку заряд протона $q_p = +e$ и заряд электрона $q_e = -e$, то:

$F_K = k \frac{e^2}{r^2}$

Приравниваем выражения для центростремительной силы и силы Кулона, так как именно сила Кулона является причиной центростремительного ускорения:

$F_{цс} = F_K$

$\frac{m_e v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Для этого сначала умножим обе части на $r$ и разделим на $m_e$:

$m_e v^2 = k \frac{e^2}{r}$

$v^2 = \frac{k e^2}{m_e r}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль скорости:

$v = \sqrt{\frac{k e^2}{m_e r}}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{48.23 \cdot 10^{-42}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{\frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{48.23 \cdot 10^{-42}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{0.4777 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{4.777 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 2.185 \cdot 10^6$ м/с

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью радиуса), получаем:

$v \approx 2.2 \cdot 10^6$ м/с

Ответ: модуль скорости движения электрона равен примерно $2.2 \cdot 10^6$ м/с.