Номер 888, страница 164 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = 50 \text{ нКл} = 50 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Для пункта б): $r_1 = 8.0 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$, $r_2 = 6.0 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Найти:

а) $E_a$ — модуль напряженности поля в точке, расположенной посередине между зарядами.

б) $E_b$ — модуль напряженности поля в точке, удаленной на $r_1$ от первого заряда и на $r_2$ от второго.

Решение:

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $d$ от него, вычисляется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{d^2}$

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

а) точка расположена посередине между зарядами

Пусть точка А находится на середине отрезка, соединяющего заряды. Расстояние от каждого заряда до этой точки будет одинаковым:

$d_1 = d_2 = \frac{r}{2} = \frac{0.1 \text{ м}}{2} = 0.05 \text{ м}$.

Поскольку оба заряда положительны, вектор напряженности $\vec{E_1}$, создаваемый зарядом $q_1$, будет направлен от $q_1$ (вдоль линии, соединяющей заряды, в сторону $q_2$). Вектор $\vec{E_2}$, создаваемый зарядом $q_2$, будет направлен от $q_2$ (в сторону $q_1$). Векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены в противоположные стороны. Поэтому модуль результирующей напряженности $E_a$ равен разности модулей векторов:

$E_a = |E_2 - E_1|$

Вычислим модули напряженностей $E_1$ и $E_2$:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{d_1^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10 \cdot 10^{-9}}{(0.05)^2} = \frac{90}{0.0025} = 36000 \text{ В/м} = 36 \text{ кВ/м}$.

$E_2 = k \frac{|q_2|}{d_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{50 \cdot 10^{-9}}{(0.05)^2} = \frac{450}{0.0025} = 180000 \text{ В/м} = 180 \text{ кВ/м}$.

Теперь найдем модуль результирующей напряженности:

$E_a = |180000 - 36000| = 144000 \text{ В/м} = 144 \text{ кВ/м}$.

Ответ: $144 \text{ кВ/м}$.

б) точка удалена на $r_1=8,0 \text{ см}$ от первого заряда и на $r_2=6,0 \text{ см}$ от второго

Рассмотрим взаимное расположение зарядов и искомой точки. Расстояния $r=10 \text{ см}$, $r_1=8 \text{ см}$ и $r_2=6 \text{ см}$ удовлетворяют условию теоремы Пифагора:

$r_1^2 + r_2^2 = (8.0)^2 + (6.0)^2 = 64 + 36 = 100 \text{ см}^2$

$r^2 = (10)^2 = 100 \text{ см}^2$

Так как $r_1^2 + r_2^2 = r^2$, то заряды $q_1, q_2$ и искомая точка образуют прямоугольный треугольник, в котором отрезок, соединяющий заряды, является гипотенузой, а искомая точка находится в вершине прямого угла.

Вектор напряженности $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$ вдоль катета $r_1$. Вектор $\vec{E_2}$ направлен от положительного заряда $q_2$ вдоль катета $r_2$. Таким образом, векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ перпендикулярны друг другу. Модуль их векторной суммы $E_b$ можно найти по теореме Пифагора:

$E_b = \sqrt{E_1^2 + E_2^2}$

Вычислим модули напряженностей $E_1$ и $E_2$, используя расстояния в СИ ($r_1 = 0.08 \text{ м}$, $r_2 = 0.06 \text{ м}$):

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10 \cdot 10^{-9}}{(0.08)^2} = \frac{90}{0.0064} = 14062.5 \text{ В/м}$.

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{50 \cdot 10^{-9}}{(0.06)^2} = \frac{450}{0.0036} = 125000 \text{ В/м}$.

Теперь найдем модуль результирующей напряженности:

$E_b = \sqrt{(14062.5)^2 + (125000)^2} = \sqrt{197753906.25 + 15625000000} \approx \sqrt{1.582 \cdot 10^{10}} \approx 125788 \text{ В/м}$.

Округлим результат до трех значащих цифр: $E_b \approx 1.26 \cdot 10^5 \text{ В/м} = 126 \text{ кВ/м}$.

Ответ: $126 \text{ кВ/м}$.