Номер 895, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 30$ мм
$q = 5,0$ нКл
В шестиугольнике 3 заряда $+q$ и 3 заряда $-q$.
$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

$a = 30 \cdot 10^{-3}$ м = $0,03$ м
$q = 5,0 \cdot 10^{-9}$ Кл

Найти:

$E$

Решение:

Напряженность электростатического поля в центре правильного шестиугольника равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из шести зарядов (принцип суперпозиции). Расстояние от каждой вершины до центра правильного шестиугольника равно длине его стороны $r = a$.

Модуль напряженности поля, создаваемого в центре одним точечным зарядом $q$, находящимся в вершине, определяется по формуле:

$E_0 = k \frac{|q|}{a^2}$

Вычислим значение $E_0$:

$E_0 = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0,03 \text{ м})^2} = \frac{45}{9 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 5 \cdot 10^4$ Н/Кл = 50 кВ/м.

Вектор напряженности поля от положительного заряда направлен от заряда к центру, а от отрицательного заряда — от центра к заряду. Для нахождения результирующей напряженности $\vec{E}$ необходимо векторно сложить поля от всех шести зарядов: $\vec{E} = \sum_{i=1}^{6} \vec{E}_i$.

Анализ удобно провести, рассматривая поля от пар зарядов, расположенных в диаметрально противоположных вершинах.
1. Если в противоположных вершинах находятся одноименные заряды (например, $+q$ и $+q$, или $-q$ и $-q$), то создаваемые ими в центре поля равны по модулю ($E_0$) и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма равна нулю.
2. Если в противоположных вершинах находятся разноименные заряды (например, $+q$ и $-q$), то создаваемые ими поля равны по модулю ($E_0$) и сонаправлены. Их векторная сумма дает поле с модулем $2E_0$, направленное вдоль прямой, соединяющей заряды, в сторону отрицательного заряда.

В зависимости от расположения трех положительных и трех отрицательных зарядов возможны три различных по модулю результирующего поля случая.

1. Одна пара вершин занята одноименными положительными зарядами, одна пара — одноименными отрицательными, и одна пара — разноименными.

В этом случае две пары одноименных зарядов (например, $(+q, +q)$ и $(-q, -q)$) создают в центре нулевое поле. Ненулевой вклад вносит только одна пара разноименных зарядов $(+q, -q)$. Модуль результирующей напряженности поля равен модулю поля от этой пары.

$E_1 = 2E_0 = 2 \cdot 50 \text{ кВ/м} = 100$ кВ/м.

Ответ: $E_1 = 100$ кВ/м.

2. Заряды в вершинах чередуются по знаку (например, +,-,+, -,+,-).

В этом случае все три пары зарядов в противоположных вершинах являются разноименными. Например, пара в вершинах 1 и 4 (+,-), пара в вершинах 2 и 5 (-,+), пара в вершинах 3 и 6 (+,-). Каждая пара создает поле с модулем $2E_0$. Результирующее поле будет векторной суммой трех векторов с модулями $2E_0$, направленных под углом $120^\circ$ друг к другу (например, векторы $\vec{E}_{1,4}$, $\vec{E}_{2,5}$, $\vec{E}_{3,6}$). Сумма трех равных по модулю векторов, расположенных под углом $120^\circ$ друг к другу, равна нулю.

$E_2 = 0$.

Ответ: $E_2 = 0$.

3. Три положительных заряда занимают три соседние вершины, а три отрицательных — три остальные соседние вершины (например, +,+,+,-,-,-).

В этом случае, как и в предыдущем, все три пары зарядов в противоположных вершинах являются разноименными. Однако направления векторов напряженности от этих пар будут иными. Пусть заряды $+q$ в вершинах 1, 2, 3, а $-q$ в вершинах 4, 5, 6.
Пара (1,4) создает вектор $\vec{E}_{1,4}$ (от 1 к 4).
Пара (2,5) создает вектор $\vec{E}_{2,5}$ (от 2 к 5).
Пара (3,6) создает вектор $\vec{E}_{3,6}$ (от 3 к 6).
Все три вектора имеют модуль $2E_0$. Угол между $\vec{E}_{1,4}$ и $\vec{E}_{2,5}$ равен $60^\circ$, и угол между $\vec{E}_{2,5}$ и $\vec{E}_{3,6}$ также равен $60^\circ$. Результирующее поле $\vec{E}_3 = \vec{E}_{1,4} + \vec{E}_{2,5} + \vec{E}_{3,6}$. В силу симметрии, вектор $\vec{E}_3$ будет сонаправлен с вектором $\vec{E}_{2,5}$. Найдем его модуль, спроецировав все векторы на направление $\vec{E}_{2,5}$:

$E_3 = E_{1,4} \cos(60^\circ) + E_{2,5} + E_{3,6} \cos(60^\circ) = 2E_0 \cdot \frac{1}{2} + 2E_0 + 2E_0 \cdot \frac{1}{2} = E_0 + 2E_0 + E_0 = 4E_0$.

Проекции на перпендикулярное направление взаимно уничтожатся.
Таким образом, модуль результирующего поля:

$E_3 = 4E_0 = 4 \cdot 50 \text{ кВ/м} = 200$ кВ/м.

Ответ: $E_3 = 200$ кВ/м.