Номер 898, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Внешняя сфера: радиус $R$, заряд $q$.

Внутренняя сфера: радиус $r$, проводящая, заземлена.

Центры сфер совпадают.

$r < R$.

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля $E$ на расстоянии $l$ от центра.

Решение:

Поскольку внутренняя сфера является проводящей и заземлена, ее потенциал равен нулю ($ \phi_{r} = 0 $). На ней индуцируется заряд $q_{ind}$, который мы найдем из этого условия.

Потенциал на поверхности внутренней сферы (на расстоянии $r$ от центра) создается ее собственным зарядом $q_{ind}$ и зарядом $q$ внешней сферы. Потенциал от собственного заряда на ее поверхности равен $ \phi_1 = k \frac{q_{ind}}{r} $, где $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $ — коэффициент в законе Кулона.

Потенциал, создаваемый внешней сферой (радиусом $R$ с зарядом $q$) в любой точке внутри нее (на расстоянии $l < R$), постоянен и равен потенциалу на ее поверхности: $ \phi_2 = k \frac{q}{R} $.

Суммарный потенциал на поверхности внутренней сферы:

$ \phi_{r} = \phi_1 + \phi_2 = k \frac{q_{ind}}{r} + k \frac{q}{R} $

Так как сфера заземлена, $ \phi_{r} = 0 $, отсюда:

$ k \frac{q_{ind}}{r} + k \frac{q}{R} = 0 \implies q_{ind} = -q \frac{r}{R} $

Теперь определим модуль напряженности поля $E$ на расстоянии $l$ от центра, используя теорему Гаусса для трех различных областей.

1. Напряженность поля внутри внутренней сферы ($ l < r $)

Внутри проводника в состоянии электростатического равновесия электрическое поле отсутствует. Это следует и из теоремы Гаусса: для любой сферической поверхности радиусом $l < r$, полный заряд внутри нее равен нулю. Следовательно, напряженность поля $E$ равна нулю.

Ответ: При $ l < r $, $ E = 0 $.

2. Напряженность поля между сферами ($ r \le l < R $)

Рассмотрим сферическую поверхность Гаусса радиусом $l$ ($ r \le l < R $). Заряд, заключенный внутри этой поверхности, равен заряду внутренней сферы $q_{ind}$.

$ Q_{внутри} = q_{ind} = -q \frac{r}{R} $

Согласно теореме Гаусса, модуль напряженности поля:

$ E = k \frac{|Q_{внутри}|}{l^2} = k \frac{|-q \frac{r}{R}|}{l^2} = k \frac{|q|r}{R l^2} $

Ответ: При $ r \le l < R $, $ E = k \frac{|q|r}{R l^2} $.

3. Напряженность поля вне внешней сферы ($ l \ge R $)

Рассмотрим сферическую поверхность Гаусса радиусом $l \ge R$. Полный заряд, заключенный внутри этой поверхности, равен сумме заряда внешней сферы $q$ и индуцированного заряда на внутренней сфере $q_{ind}$.

$ Q_{внутри} = q + q_{ind} = q + (-q \frac{r}{R}) = q(1 - \frac{r}{R}) = q\frac{R-r}{R} $

Модуль напряженности поля равен:

$ E = k \frac{|Q_{внутри}|}{l^2} = k \frac{|q\frac{R-r}{R}|}{l^2} $

Так как по условию $R > r$, то $R-r > 0$, и мы можем убрать модуль у этого сомножителя:

$ E = k \frac{|q|(R-r)}{R l^2} $

Ответ: При $ l \ge R $, $ E = k \frac{|q|(R-r)}{R l^2} $.