Номер 890, страница 164 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряды: $q_1 = q_2 = q_3 = q$ (одноименные)

Расстояние между $q_1$ и $q_2$: $L$

Расстояние между $q_2$ и $q_3$: $L$

Расстояние от $q_2$ до точки C: $r_{2C} = L/2$

Среда: вакуум (электрическая постоянная $\epsilon_0$)

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля в точке C: $E_C$

Решение:

Напряженность электростатического поля подчиняется принципу суперпозиции. Результирующая напряженность поля в точке C равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов:

$\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$

где $\vec{E}_1$, $\vec{E}_2$ и $\vec{E}_3$ — напряженности полей, создаваемых соответственно левым, центральным и правым зарядами.

Все три вектора напряженности лежат на одной прямой. Выберем направление оси Ox вправо. Так как заряды одноименные (для определенности будем считать их положительными, $q > 0$), то векторы напряженности от зарядов, находящихся левее точки C, будут направлены вправо, а от зарядов, находящихся правее, — влево.

Определим расстояния от каждого заряда до точки C, исходя из рисунка:

• Расстояние от левого заряда $q_1$ до точки C: $r_1 = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$
• Расстояние от центрального заряда $q_2$ до точки C: $r_2 = \frac{L}{2}$
• Расстояние от правого заряда $q_3$ до точки C: $r_3 = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}$

Модуль напряженности поля точечного заряда находится по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Вычислим модули напряженности для каждого из полей:

$E_1 = k \frac{q}{r_1^2} = k \frac{q}{(\frac{3L}{2})^2} = k \frac{q}{\frac{9L^2}{4}} = \frac{4}{9} k \frac{q}{L^2}$

$E_2 = k \frac{q}{r_2^2} = k \frac{q}{(\frac{L}{2})^2} = k \frac{q}{\frac{L^2}{4}} = 4 k \frac{q}{L^2}$

$E_3 = k \frac{q}{r_3^2} = k \frac{q}{(\frac{L}{2})^2} = k \frac{q}{\frac{L^2}{4}} = 4 k \frac{q}{L^2}$

Поле $\vec{E}_1$ (от левого заряда) и поле $\vec{E}_2$ (от центрального заряда) направлены вправо (вдоль оси Ox). Поле $\vec{E}_3$ (от правого заряда) направлено влево (против оси Ox).

Найдем проекцию результирующей напряженности на ось Ox:

$E_{Cx} = E_1 + E_2 - E_3 = \frac{4}{9} k \frac{q}{L^2} + 4 k \frac{q}{L^2} - 4 k \frac{q}{L^2} = \frac{4}{9} k \frac{q}{L^2}$

Так как проекция $E_{Cx}$ положительна, результирующий вектор $\vec{E}_C$ направлен вправо, а его модуль равен значению этой проекции.

$E_C = \frac{4}{9} k \frac{q}{L^2}$

Выражая константу $k$ через электрическую постоянную $\epsilon_0$, получаем:

$E_C = \frac{4}{9} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{L^2} = \frac{q}{9\pi\epsilon_0 L^2}$

Ответ: $E_C = \frac{4kq}{9L^2}$ или $E_C = \frac{q}{9\pi\epsilon_0 L^2}$.