Номер 881, страница 163 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 3.3 \text{ мкКл} = 3.3 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$h = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$r = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$\text{Коэффициент в законе Кулона } k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$q_0$

Решение:

Рассмотрим один из шариков, например, левый шарик с зарядом $q_1$. На него действуют следующие силы: сила тяжести ($mg$) направленная вертикально вниз, сила натяжения нити ($T$) направленная вертикально вверх (поскольку по условию нити расположены вертикально), сила отталкивания со стороны правого шарика ($F_{21}$) направленная горизонтально влево, и сила со стороны заряда $q_0$ ($F_{01}$).

Поскольку шарик находится в равновесии и нить расположена вертикально, сумма всех горизонтальных сил, действующих на шарик, должна быть равна нулю. Сила тяжести и сила натяжения нити не имеют горизонтальных составляющих. Следовательно, горизонтальная составляющая силы $F_{01}$ должна уравновешивать силу $F_{21}$.

Сила отталкивания $F_{21}$ между двумя одинаковыми зарядами $q_1$ и $q_2$ направлена по горизонтали и равна по модулю:

$F_{21} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Сила $F_{01}$ со стороны заряда $q_0$ должна быть направлена так, чтобы ее горизонтальная компонента была направлена вправо, то есть в сторону, противоположную $F_{21}$. Так как заряд $q_1$ положительный, это означает, что сила $F_{01}$ должна быть силой притяжения, а значит, заряд $q_0$ должен быть отрицательным.

Найдем расстояние $d$ от заряда $q_0$ до заряда $q_1$. Заряд $q_0$ расположен на одинаковом расстоянии от шариков и на глубине $h$ под линией, их соединяющей. Это означает, что он находится под серединой отрезка $r$. Тогда по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{h^2 + (r/2)^2}$

Модуль силы $F_{01}$ равен:

$F_{01} = k \frac{|q_0| q}{d^2}$

Пусть $\alpha$ — угол между направлением силы $F_{01}$ и вертикалью. Тогда горизонтальная компонента этой силы $F_{01x}$ равна:

$F_{01x} = F_{01} \sin\alpha$

Из геометрии системы видно, что:

$\sin\alpha = \frac{r/2}{d}$

Подставив это в выражение для $F_{01x}$, получим:

$F_{01x} = k \frac{|q_0| q}{d^2} \cdot \frac{r/2}{d} = k \frac{|q_0| q r}{2d^3}$

Приравняем модули горизонтальных сил:

$F_{21} = F_{01x}$

$k \frac{q^2}{r^2} = k \frac{|q_0| q r}{2d^3}$

Сократим $k$ и $q$:

$\frac{q}{r^2} = \frac{|q_0| r}{2d^3}$

Выразим $|q_0|$:

$|q_0| = \frac{2q d^3}{r^3}$

Подставим выражение для $d$:

$|q_0| = \frac{2q (h^2 + (r/2)^2)^{3/2}}{r^3}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$d = \sqrt{(0.2 \text{ м})^2 + (0.3 \text{ м} / 2)^2} = \sqrt{0.04 \text{ м}^2 + (0.15 \text{ м})^2} = \sqrt{0.04 \text{ м}^2 + 0.0225 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0625 \text{ м}^2} = 0.25 \text{ м}$

$|q_0| = \frac{2 \cdot (3.3 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (0.25 \text{ м})^3}{(0.3 \text{ м})^3} = \frac{6.6 \times 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 0.015625 \text{ м}^3}{0.027 \text{ м}^3} \approx 3.819 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $|q_0| \approx 3.8 \times 10^{-6} \text{ Кл}$ или $3.8 \text{ мкКл}$.

Так как мы установили, что заряд $q_0$ должен быть отрицательным, то $q_0 = -3.8 \text{ мкКл}$.

Ответ: $q_0 = -3.8 \text{ мкКл}$.