Номер 878, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 20 \text{ см}$

$m = 0,90 \text{ г}$

$\alpha = 60^\circ$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:
$l = 0,20 \text{ м}$
$m = 0,90 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$q$

Решение:

В начальный момент времени два одинаковых шарика соприкасаются. Один шарик (A) неподвижно закреплен, а второй (B) подвешен на нити длиной $l$ так, что нить вертикальна, и шарик B касается шарика A. Таким образом, шарик A закреплен в точке начального положения шарика B.

После того как шарикам сообщили одинаковые заряды $q$, они оттолкнулись. Шарик B отклонился на угол $\alpha$ от вертикали и установился в новом положении равновесия. Рассмотрим геометрию системы в положении равновесия. Пусть O — точка подвеса нити. Тогда $OA = l$ (расстояние от точки подвеса до закрепленного шарика A) и $OB = l$ (длина нити). Треугольник OAB является равнобедренным, и угол между сторонами OA и OB равен углу отклонения $\alpha$.

Расстояние $r$ между центрами шариков A и B в положении равновесия можно найти по теореме косинусов для треугольника OAB:$r^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$$r^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(\alpha) = 2l^2(1 - \cos(\alpha))$Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:$r^2 = 2l^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4l^2\sin^2(\alpha/2)$$r = 2l \sin(\alpha/2)$

Шарик B находится в равновесии под действием трех сил:
1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса O.
3. Сила кулоновского отталкивания $\vec{F_e}$, направленная вдоль прямой AB от шарика A.

Запишем условие равновесия в векторной форме:$\vec{F_g} + \vec{T} + \vec{F_e} = \vec{0}$

Для решения спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально вправо. Точка подвеса O находится в начале координат.В равнобедренном треугольнике OAB углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2$.Сила $\vec{F_e}$ направлена вдоль AB. Угол, который вектор $\vec{F_e}$ составляет с горизонталью, равен $\alpha/2$.

Условия равновесия в проекциях на оси:
OX: $F_e \cos(\alpha/2) - T \sin(\alpha) = 0$
OY: $F_e \sin(\alpha/2) + T \cos(\alpha) - mg = 0$

Из первого уравнения выразим T:$T = \frac{F_e \cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha)}$Подставим во второе уравнение:$F_e \sin(\alpha/2) + \frac{F_e \cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha)} \cos(\alpha) - mg = 0$$F_e \left( \sin(\alpha/2) + \frac{\cos(\alpha/2)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right) = mg$$F_e \left( \frac{\sin(\alpha/2)\sin(\alpha) + \cos(\alpha/2)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right) = mg$Используя формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:$F_e \frac{\cos(\alpha - \alpha/2)}{\sin(\alpha)} = mg$$F_e \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha)} = mg$$F_e = \frac{mg \sin(\alpha)}{\cos(\alpha/2)}$Применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$:$F_e = \frac{mg \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = 2mg \sin(\alpha/2)$

Сила кулоновского отталкивания определяется законом Кулона:$F_e = \frac{k |q_1 q_2|}{r^2} = \frac{k q^2}{r^2}$Приравниваем два выражения для $F_e$:$\frac{k q^2}{r^2} = 2mg \sin(\alpha/2)$Подставим выражение для $r = 2l \sin(\alpha/2)$:$\frac{k q^2}{(2l \sin(\alpha/2))^2} = 2mg \sin(\alpha/2)$$\frac{k q^2}{4l^2 \sin^2(\alpha/2)} = 2mg \sin(\alpha/2)$Выразим $q^2$:$q^2 = \frac{8mg l^2 \sin^3(\alpha/2)}{k}$Отсюда заряд $q$:$q = \sqrt{\frac{8mg l^2 \sin^3(\alpha/2)}{k}} = 2l \sqrt{\frac{2mg \sin^3(\alpha/2)}{k}}$

Подставим числовые значения:$\alpha = 60^\circ \implies \alpha/2 = 30^\circ \implies \sin(\alpha/2) = \sin(30^\circ) = 0,5$$q = \sqrt{\frac{8 \cdot (0,90 \cdot 10^{-3}) \cdot 9,8 \cdot (0,20)^2 \cdot (0,5)^3}{9 \cdot 10^9}}$$q = \sqrt{\frac{8 \cdot 0,90 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot 0,04 \cdot 0,125}{9 \cdot 10^9}}$$q = \sqrt{\frac{0,3528 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9}} = \sqrt{0,0392 \cdot 10^{-12}} = \sqrt{3,92 \cdot 10^{-14}}$$q \approx 1,98 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

С учетом того, что данные в задаче приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат:$q \approx 2,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 0,20 \text{ мкКл}$

Ответ: $q \approx 2,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$.