Номер 875, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0.50 \text{ г}$

$q_1 = q_2 = q = 17 \text{ нКл}$

$T_2 = \frac{T_1}{2}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.50 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$q = 17 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$r$ — расстояние между зарядами.

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда шарик просто висит на нити. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вертикально вверх. Так как шарик находится в равновесии, сумма сил равна нулю:

$T_1 - mg = 0$

$T_1 = mg$

2. Теперь рассмотрим конечное состояние, когда снизу на расстоянии $r$ поднесли второй такой же заряд $q$. Поскольку заряды одноименные, они отталкиваются. Следовательно, на верхний шарик со стороны нижнего заряда действует сила Кулона $F_e$, направленная вертикально вверх. Условие равновесия для шарика в этом случае будет выглядеть так (где $T_2$ — новая сила натяжения нити):

$T_2 + F_e - mg = 0$

Сила Кулона $F_e$ рассчитывается по закону Кулона:

$F_e = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

3. По условию задачи, сила натяжения нити уменьшилась вдвое:

$T_2 = \frac{T_1}{2}$

Подставив выражение для $T_1$ из первого пункта, получаем:

$T_2 = \frac{mg}{2}$

4. Подставим выражения для $T_2$ и $F_e$ в уравнение равновесия для второго случая:

$\frac{mg}{2} + k \frac{q^2}{r^2} = mg$

Выразим из этого уравнения член, содержащий искомое расстояние $r$:

$k \frac{q^2}{r^2} = mg - \frac{mg}{2}$

$k \frac{q^2}{r^2} = \frac{mg}{2}$

Отсюда выражаем $r^2$:

$r^2 = \frac{2kq^2}{mg}$

И находим $r$:

$r = \sqrt{\frac{2kq^2}{mg}} = q\sqrt{\frac{2k}{mg}}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$r = 17 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}{0.50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = 17 \cdot 10^{-9} \cdot \sqrt{\frac{18 \cdot 10^9}{4.9 \cdot 10^{-3}}} \approx 17 \cdot 10^{-9} \cdot \sqrt{3.673 \cdot 10^{12}}$

$r \approx 17 \cdot 10^{-9} \cdot 1.917 \cdot 10^6 \approx 32.58 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$r \approx 3.26 \text{ см}$

Ответ: расстояние $r$ должно быть равно примерно $3.26 \text{ см}$.