Номер 882, страница 163 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пылинки: $m$
Заряд пылинки: $+q_0$
Заряды в вершинах квадрата: $+q, +q, -q, -q$
Сторона квадрата: $d$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Модуль ускорения пылинки $a$ в точке O.

Решение:

На заряженную пылинку в точке O (центре квадрата) действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_g$ и суммарная электростатическая (кулоновская) сила $\vec{F}_e$ со стороны четырех зарядов в вершинах квадрата.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила, действующая на пылинку, равна произведению ее массы на ускорение: $m\vec{a} = \vec{F}_{net} = \vec{F}_g + \vec{F}_e$

Сила тяжести направлена вертикально вниз, и ее модуль равен $F_g = mg$.

Найдем результирующую электростатическую силу $\vec{F}_e$. Расположим квадрат в системе координат так, чтобы его центр O совпадал с началом координат, а оси были параллельны сторонам квадрата. Поскольку квадрат расположен вертикально, а заряды $+q$ находятся в двух верхних вершинах, координаты вершин будут:
Верхняя левая: $(-d/2, d/2)$ с зарядом $+q$.
Верхняя правая: $(d/2, d/2)$ с зарядом $+q$.
Нижняя левая: $(-d/2, -d/2)$ с зарядом $-q$.
Нижняя правая: $(d/2, -d/2)$ с зарядом $-q$.
Пылинка с зарядом $+q_0$ находится в точке O(0, 0).

Расстояние от каждой вершины до центра квадрата одинаково и равно половине длины диагонали: $r = \frac{\sqrt{d^2+d^2}}{2} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Квадрат этого расстояния: $r^2 = (\frac{d\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{d^2 \cdot 2}{4} = \frac{d^2}{2}$.

Модуль силы, действующей на пылинку со стороны каждого из четырех зарядов, одинаков и по закону Кулона равен: $F = k \frac{|q q_0|}{r^2} = k \frac{q q_0}{d^2/2} = \frac{2kq q_0}{d^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – постоянная Кулона.

Рассмотрим направления сил. Пылинка имеет положительный заряд $+q_0$. Два верхних заряда $+q$ отталкивают пылинку. Векторы сил от них направлены от соответствующих вершин к центру и далее. Два нижних заряда $-q$ притягивают пылинку. Векторы сил от них направлены от центра к соответствующим вершинам. В силу симметрии, горизонтальные компоненты всех четырех сил взаимно компенсируются. Вертикальные компоненты всех сил направлены вниз и складываются.

Проекция каждой из четырех сил на вертикальную ось (ось Y) направлена вниз, и ее модуль равен $F \cos(45^\circ) = F\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Суммарная электростатическая сила $\vec{F}_e$ направлена вертикально вниз, и ее модуль равен сумме модулей вертикальных проекций всех четырех сил: $F_e = 4 \cdot \left( F \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}F$.

Подставим выражение для $F$: $F_e = 2\sqrt{2} \left(\frac{2kq q_0}{d^2}\right) = \frac{4\sqrt{2} k q q_0}{d^2}$.

Поскольку и сила тяжести $\vec{F}_g$, и электростатическая сила $\vec{F}_e$ направлены вертикально вниз, результирующая сила $\vec{F}_{net}$ также направлена вертикально вниз, а ее модуль равен сумме модулей: $F_{net} = F_g + F_e = mg + \frac{4\sqrt{2} k q q_0}{d^2}$.

Теперь найдем модуль ускорения пылинки из второго закона Ньютона $F_{net} = ma$: $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{mg + \frac{4\sqrt{2} k q q_0}{d^2}}{m} = g + \frac{4\sqrt{2} k q q_0}{m d^2}$.

Выражая постоянную Кулона $k$ через диэлектрическую постоянную $\epsilon_0$ ($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$), получаем: $a = g + \frac{4\sqrt{2} q q_0}{4\pi\epsilon_0 m d^2} = g + \frac{\sqrt{2} q q_0}{\pi\epsilon_0 m d^2}$.

Ответ: $a = g + \frac{4\sqrt{2} k q q_0}{m d^2}$ или $a = g + \frac{\sqrt{2} q q_0}{\pi\epsilon_0 m d^2}$.