Номер 880, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0.50 \text{ г}$

$\alpha = 30^\circ$

$\epsilon = 2.0$

$\rho_{ж} = \rho_{ш}$ (плотность жидкости равна плотности материала шариков)

$m = 0.50 \times 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$F_{упр}$ - модуль силы упругости нитей после погружения в жидкость.

Характер равновесия шариков.

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: до погружения в диэлектрик (в вакууме) и после.

1. Равновесие шариков в вакууме.

На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила натяжения нити $T_1$ и сила электростатического отталкивания $F_{C1}$. В положении равновесия векторная сумма этих сил равна нулю. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Вертикальная ось OY: $T_1 \cos\alpha - mg = 0 \implies T_1 = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Горизонтальная ось OX: $F_{C1} - T_1 \sin\alpha = 0 \implies F_{C1} = T_1 \sin\alpha$

Подставив выражение для $T_1$ во второе уравнение, получим:

$F_{C1} = \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = mg \tan\alpha$

Сила Кулона $F_{C1}$ зависит от заряда шариков $q$ и расстояния между ними $r_1$. Если длина нити равна $L$, то $r_1 = 2L \sin\alpha$. Тогда:

$F_{C1} = k \frac{q^2}{r_1^2} = k \frac{q^2}{(2L \sin\alpha)^2}$

Приравнивая два выражения для $F_{C1}$, получаем:

$k \frac{q^2}{4L^2 \sin^2\alpha} = mg \tan\alpha$

Отсюда можно выразить комбинацию неизвестных величин:

$\frac{k q^2}{4L^2} = mg \tan\alpha \sin^2\alpha$

Эта величина понадобится нам для дальнейших расчетов.

2. Равновесие шариков в жидком диэлектрике.

После погружения системы в жидкость на каждый шарик действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила Архимеда $F_A$, сила натяжения нити $F_{упр}$ и сила Кулона в диэлектрике $F_{C2}$.

По условию, плотность жидкости $\rho_ж$ равна плотности материала шариков $\rho_ш$. Сила Архимеда определяется как $F_A = \rho_ж g V_ш$, где $V_ш$ - объем шарика. Масса шарика $m = \rho_ш V_ш$. Так как $\rho_ж = \rho_ш$, то:

$F_A = \rho_ш g V_ш = mg$

Таким образом, сила Архимеда полностью компенсирует силу тяжести. Шарики находятся в состоянии, эквивалентном невесомости.

Сила Кулона в диэлектрике ослабляется в $\epsilon$ раз по сравнению с вакуумом при том же расстоянии между зарядами: $F_{C2} = \frac{k q^2}{\epsilon r_2^2}$, где $r_2$ - новое расстояние между шариками.

Поскольку вертикальные силы (тяжести и Архимеда) скомпенсированы, единственными силами, действующими в плоскости движения, остаются сила Кулоновского отталкивания и сила натяжения нитей. Сила отталкивания будет разводить шарики до тех пор, пока это возможно. Максимальное расстояние между шариками достигается, когда нити располагаются горизонтально. В этом случае угол с вертикалью $\beta = 90^\circ$, а расстояние между шариками $r_2 = 2L$.

В этом новом положении равновесия сила натяжения нити $F_{упр}$ направлена горизонтально и уравновешивает силу Кулона $F_{C2}$:

$F_{упр} = F_{C2} = \frac{k q^2}{\epsilon r_2^2} = \frac{k q^2}{\epsilon (2L)^2} = \frac{1}{\epsilon} \frac{k q^2}{4L^2}$

Теперь подставим выражение для $\frac{k q^2}{4L^2}$, полученное из анализа равновесия в вакууме:

$F_{упр} = \frac{1}{\epsilon} (mg \tan\alpha \sin^2\alpha)$

Определите модуль силы упругости $F_{упр}$ нитей после погружения в жидкость.

Подставим числовые значения в полученную формулу (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$):

$F_{упр} = \frac{0.50 \times 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(30^\circ) \cdot (\sin(30^\circ))^2}{2.0}$

$F_{упр} = \frac{4.9 \times 10^{-3} \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (0.5)^2}{2.0} = \frac{4.9 \times 10^{-3} \cdot 0.577 \cdot 0.25}{2.0} \approx \frac{0.707 \times 10^{-3}}{2.0} \approx 0.35 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы упругости нитей после погружения в жидкость равен $F_{упр} \approx 0.35 \text{ мН}$.

Каков характер равновесия шариков?

Как было показано, в жидкости сила тяжести шариков уравновешена силой Архимеда. Система ведет себя так, как будто она находится в невесомости. Потенциальная энергия системы определяется только электростатическим взаимодействием шариков: $U = U_e = \frac{k q^2}{\epsilon r}$. Система стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией.

Минимум энергии $U_e$ достигается при максимальном расстоянии $r$ между шариками. В условиях задачи максимальное расстояние, ограниченное нерастяжимыми нитями длиной $L$, равно $r_{max} = 2L$. Это соответствует горизонтальному расположению нитей. Поскольку данное положение равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии, то оно является устойчивым. Любое отклонение от этого положения приведет к возникновению сил, возвращающих систему в исходное состояние.

Ответ: Равновесие шариков является устойчивым.