Номер 937, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Расстояние от точки подвеса до пластины, $d = 10 \text{ см}$
Масса шарика, $m = 0,10 \text{ г}$
Длина нити, $l = 12 \text{ см}$
Угол отклонения нити, $\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:
$d = 0,1 \text{ м}$
$m = 0,10 \times 10^{-3} \text{ кг} = 1,0 \times 10^{-4} \text{ кг}$
$l = 0,12 \text{ м}$

Найти:
Заряд шарика, $q$.

Решение:
Шарик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести $m\vec{g}$, силы натяжения нити $\vec{T}$ и электрической силы $\vec{F_e}$, действующей со стороны заземленной металлической пластины. Условие равновесия в векторной форме:$m\vec{g} + \vec{T} + \vec{F_e} = 0$
Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось $Oy$ направим вертикально вверх, а ось $Ox$ – горизонтально в сторону пластины.
Проекция на ось $Oy$: $T \cos\alpha - mg = 0$ (1)
Проекция на ось $Ox$: $F_e - T \sin\alpha = 0$ (2)
Из уравнения (1) выразим силу натяжения нити: $T = \frac{mg}{\cos\alpha}$.
Подставим это выражение в уравнение (2): $F_e - \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = 0$.
Отсюда находим электрическую силу: $F_e = mg \tan\alpha$.
Электрическую силу, действующую на заряд $q$ со стороны заземленной проводящей пластины, можно рассчитать с помощью метода зеркальных изображений. Сила притяжения заряда к пластине равна силе притяжения этого заряда к воображаемому заряду $-q$, расположенному симметрично за пластиной.
Пусть в положении равновесия шарик находится на расстоянии $x$ от пластины. Тогда расстояние между реальным зарядом $q$ и его изображением $-q$ будет равно $2x$. По закону Кулона:$F_e = k \frac{|q \cdot (-q)|}{(2x)^2} = \frac{k q^2}{4x^2}$где $k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ – коэффициент в законе Кулона.
Расстояние $x$ можно найти из геометрии. Изначально точка подвеса находилась на расстоянии $d$ от пластины. После отклонения на угол $\alpha$ шарик сместился по горизонтали на расстояние $l \sin\alpha$. Таким образом, новое расстояние до пластины:$x = d - l \sin\alpha$
Подставим это в формулу для электрической силы:$F_e = \frac{k q^2}{4(d - l \sin\alpha)^2}$
Теперь приравняем два полученных выражения для $F_e$:$mg \tan\alpha = \frac{k q^2}{4(d - l \sin\alpha)^2}$
Выразим из этого уравнения искомый заряд $q$:$q^2 = \frac{4mg \tan\alpha (d - l \sin\alpha)^2}{k}$$q = \sqrt{\frac{4mg \tan\alpha (d - l \sin\alpha)^2}{k}} = 2(d - l \sin\alpha) \sqrt{\frac{mg \tan\alpha}{k}}$
Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$):
$d - l \sin\alpha = 0,1 - 0,12 \cdot \sin 30^\circ = 0,1 - 0,12 \cdot 0,5 = 0,1 - 0,06 = 0,04 \text{ м}$
$q = 2 \cdot 0,04 \cdot \sqrt{\frac{1,0 \times 10^{-4} \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \tan 30^\circ}{9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}}$
$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$
$q \approx 0,08 \cdot \sqrt{\frac{1,0 \times 10^{-4} \cdot 9,8 \cdot 0,577}{9 \times 10^9}} \approx 0,08 \cdot \sqrt{\frac{5,655 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9}} \approx 0,08 \cdot \sqrt{0,628 \times 10^{-13}} = 0,08 \cdot \sqrt{62,8 \times 10^{-15}}$
$q \approx 0,08 \cdot \sqrt{6,28 \times 10^{-14}} \approx 0,08 \cdot 2,5 \times 10^{-7} \text{ Кл} = 2,0 \times 10^{-8} \text{ Кл}$
$q = 20 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 20 \text{ нКл}$

Ответ: Заряд шарика $q \approx 2,0 \times 10^{-8}$ Кл (или 20 нКл).