Номер 944, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряды: $q_1 = q_2 = q_3 = +q$

Начальная конфигурация (вдоль прямой):

Расстояние между $q_1$ и $q_2$: $r_{12}^{(1)} = a$

Расстояние между $q_2$ и $q_3$: $r_{23}^{(1)} = a$

Расстояние между $q_1$ и $q_3$: $r_{13}^{(1)} = 2a$

Конечная конфигурация (равносторонний треугольник):

Расстояние между любыми двумя зарядами: $r^{(2)} = \frac{a}{2}$

Найти:

$A$ – работа внешних сил.

Решение:

Работа, совершаемая внешними силами при перемещении зарядов в электростатическом поле, равна изменению потенциальной энергии системы этих зарядов. Потенциальная энергия системы не изменяется, если работа совершается только силами поля, поэтому работа внешних сил $A$ идет на изменение потенциальной энергии $\Delta W_p$.

$A = \Delta W_p = W_{p2} - W_{p1}$

где $W_{p1}$ — начальная потенциальная энергия системы, а $W_{p2}$ — конечная потенциальная энергия системы.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия всех возможных пар зарядов, входящих в систему. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_i$ и $q_j$ на расстоянии $r_{ij}$ равна:

$W_{ij} = k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

1. Вычислим начальную потенциальную энергию системы $W_{p1}$.

Заряды расположены на одной прямой. Учитываем взаимодействие трех пар зарядов: (1,2), (2,3) и (1,3).

$W_{p1} = W_{12} + W_{23} + W_{13} = k \frac{q \cdot q}{r_{12}^{(1)}} + k \frac{q \cdot q}{r_{23}^{(1)}} + k \frac{q \cdot q}{r_{13}^{(1)}}$

$W_{p1} = k \frac{q^2}{a} + k \frac{q^2}{a} + k \frac{q^2}{2a} = k q^2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{2a}) = k q^2 (\frac{2+2+1}{2a}) = \frac{5kq^2}{2a}$

2. Вычислим конечную потенциальную энергию системы $W_{p2}$.

Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $\frac{a}{2}$. Расстояние между каждой парой зарядов одинаково и равно $\frac{a}{2}$.

$W_{p2} = W_{12} + W_{23} + W_{13} = k \frac{q^2}{a/2} + k \frac{q^2}{a/2} + k \frac{q^2}{a/2}$

$W_{p2} = 3 \cdot \left(k \frac{q^2}{a/2}\right) = 3 \cdot 2k \frac{q^2}{a} = \frac{6kq^2}{a}$

3. Найдем работу внешних сил $A$.

$A = W_{p2} - W_{p1} = \frac{6kq^2}{a} - \frac{5kq^2}{2a} = kq^2 \left(\frac{6}{a} - \frac{5}{2a}\right) = kq^2 \left(\frac{12 - 5}{2a}\right) = \frac{7kq^2}{2a}$

Ответ: $A = \frac{7kq^2}{2a}$ или $A = \frac{7q^2}{8\pi\epsilon_0 a}$.