Номер 949, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд в точке А: $q_A = +9q$

Заряд в точке B: $q_B = -q$

Расстояние между зарядами: $AB = l$

Масса частицы: $m$

Заряд частицы: $q_p = +q$

Начальное расстояние частицы от системы зарядов: $r_{1} \to \infty$

Найти:

Минимальное значение модуля начальной скорости $v_{min}$, чтобы частица достигла точки B.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Движущаяся частица находится в электростатическом поле, создаваемом двумя неподвижными зарядами. Электростатическое поле является консервативным, поэтому полная энергия частицы (сумма кинетической и потенциальной энергии) сохраняется.

$E = K + U = \frac{mv^2}{2} + U = \text{const}$

Поместим начало отсчета в точку А, а ось X направим вдоль прямой AB. Координата точки А будет $x_A=0$, а точки B — $x_B=l$. Частица движется из бесконечности ($x \to +\infty$) по направлению к точке B.

Потенциальная энергия $U(x)$ частицы с зарядом $+q$ в точке с координатой $x$ (при $x > l$) в поле зарядов $q_A$ и $q_B$ равна сумме потенциальных энергий взаимодействия с каждым из зарядов:

$U(x) = k\frac{q_A q_p}{x} + k\frac{q_B q_p}{x-l} = k\frac{(+9q)(+q)}{x} + k\frac{(-q)(+q)}{x-l} = kq^2 \left(\frac{9}{x} - \frac{1}{x-l}\right)$

На очень большом расстоянии от системы ($x \to \infty$) результирующая сила является силой отталкивания, так как суммарный заряд системы $(+9q - q = +8q)$ положителен. По мере приближения частицы к системе, сила притяжения к отрицательному заряду $-q$ растет быстрее, чем сила отталкивания от положительного заряда $+9q$. В результате существует точка, в которой эти силы уравновешиваются, и результирующая сила, действующая на частицу, равна нулю. Эта точка соответствует максимуму потенциальной энергии (так называемому "потенциальному барьеру"). Чтобы частица достигла точки B, ее начальной кинетической энергии должно быть достаточно для преодоления этого барьера.

Найдем координату $x_0$ этой точки, приравняв производную потенциальной энергии по координате к нулю, $\frac{dU}{dx} = 0$:

$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ kq^2 \left(\frac{9}{x} - \frac{1}{x-l}\right) \right] = kq^2 \left(-\frac{9}{x^2} + \frac{1}{(x-l)^2}\right) = 0$

$\frac{9}{x^2} = \frac{1}{(x-l)^2} \implies 9(x-l)^2 = x^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $3(x-l) = \pm x$. Поскольку мы рассматриваем область $x > l$, где $x > 0$ и $x-l > 0$, выбираем решение с положительным знаком:

$3(x-l) = x \implies 3x - 3l = x \implies 2x = 3l \implies x_0 = \frac{3}{2}l$

Это координата вершины потенциального барьера. Вычислим значение потенциальной энергии в этой точке ($U_{max}$):

$U_{max} = U(x_0) = kq^2 \left(\frac{9}{3l/2} - \frac{1}{3l/2 - l}\right) = kq^2 \left(\frac{18}{3l} - \frac{1}{l/2}\right) = kq^2 \left(\frac{6}{l} - \frac{2}{l}\right) = \frac{4kq^2}{l}$

Теперь применим закон сохранения энергии. Начальное состояние (1): частица находится на бесконечности ($x_1 \to \infty$) и обладает минимально необходимой скоростью $v_{min}$. Конечное состояние (2): частица достигает вершины потенциального барьера ($x_2 = x_0$) и ее скорость становится равной нулю (это условие для минимальной начальной скорости).

Энергия в начальном состоянии:

$E_1 = K_1 + U_1 = \frac{mv_{min}^2}{2} + U(\infty) = \frac{mv_{min}^2}{2} + 0$

Энергия в момент преодоления барьера:

$E_2 = K_2 + U_2 = 0 + U_{max} = \frac{4kq^2}{l}$

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{4kq^2}{l}$

Отсюда выражаем $v_{min}$:

$v_{min}^2 = \frac{8kq^2}{ml}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{8kq^2}{ml}} = 2q\sqrt{\frac{2k}{ml}}$

Ответ: $v_{min} = 2q\sqrt{\frac{2k}{ml}}$.