Номер 950, страница 175 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$r = 2,0 \text{ см} = 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$q = 4,0 \text{ пКл} = 4,0 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$
$q_e = -e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)
$m_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса электрона)
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

Найти:

$v$

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии для электрона, движущегося в электростатическом поле шарика. Полная механическая энергия электрона, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, сохраняется.

$E = K + U = \text{const}$

Запишем закон сохранения энергии для начального и конечного положений электрона:

$K_{начальная} + U_{начальная} = K_{конечная} + U_{конечная}$

В начальный момент электрон находится в бесконечно удаленной точке. По условию, он начинает движение из этой точки, следовательно, его начальная скорость равна нулю.

Начальная кинетическая энергия: $K_{начальная} = \frac{m_e v_{начальная}^2}{2} = 0$.

Начальная потенциальная энергия электрона в поле шарика на бесконечном расстоянии также равна нулю: $U_{начальная} = \frac{k q q_e}{\infty} = 0$.

Таким образом, полная начальная энергия электрона равна нулю: $E_{начальная} = 0$.

В конечный момент электрон подлетает к поверхности шарика. Его расстояние от центра шарика равно радиусу шарика $r$. Скорость электрона в этот момент равна $v$.

Конечная кинетическая энергия: $K_{конечная} = \frac{m_e v^2}{2}$.

Конечная потенциальная энергия: $U_{конечная} = \frac{k q q_e}{r}$.

Применяя закон сохранения энергии:

$0 = \frac{m_e v^2}{2} + \frac{k q q_e}{r}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{m_e v^2}{2} = -\frac{k q q_e}{r}$

$v^2 = -\frac{2 k q q_e}{m_e r}$

$v = \sqrt{-\frac{2 k q q_e}{m_e r}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt{-\frac{2 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot (4,0 \cdot 10^{-12}) \cdot (-1,6 \cdot 10^{-19})}{(9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (2,0 \cdot 10^{-2})}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 4,0 \cdot 10^{-12} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 2,0 \cdot 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{11,52 \cdot 10^{-21}}{1,822 \cdot 10^{-32}}} \approx \sqrt{6,32 \cdot 10^{11}} = \sqrt{63,2 \cdot 10^{10}}$

$v \approx 7,95 \cdot 10^5 \text{ м/с}$

С учетом значащих цифр (в исходных данных их две), округляем результат.

$v \approx 8,0 \cdot 10^5 \text{ м/с}$

Ответ: $8,0 \cdot 10^5 \text{ м/с}$.