Номер 955, страница 175 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шара $m = 10 \text{ г}$
Заряд шара $q = 1.0 \text{ мкКл}$
Модуль напряженности электростатического поля $E = 30 \text{ кВ/м}$
Угол отклонения от положения равновесия $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01 \text{ кг}$
$q = 1.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$E = 30 \cdot 10^3 \text{ В/м}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Максимальное значение модуля силы упругости нити $F_{упр, max}$.

На шар в электростатическом поле действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; электрическая сила $\vec{F}_e = q\vec{E}$, направленная горизонтально (так как поле горизонтальное); и сила натяжения нити $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Сила тяжести и электрическая сила являются постоянными, поэтому их векторная сумма также является постоянной силой: $\vec{F}_{рез} = \vec{F}_g + \vec{F}_e$. Движение шара можно рассматривать как колебания маятника в поле "эффективной силы тяжести" $\vec{F}_{рез}$. Модуль этой силы равен:$F_{рез} = \sqrt{F_g^2 + F_e^2} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$

Положение равновесия системы соответствует такому положению, когда нить направлена вдоль равнодействующей силы $\vec{F}_{рез}$. Сила натяжения нити достигает максимального значения в момент прохождения шаром этого положения равновесия, поскольку в этой точке его скорость максимальна.

Запишем второй закон Ньютона для шара в положении равновесия в проекции на направление нити. В этой точке на шар действует сила натяжения $F_{упр, max}$ (направлена к центру), равнодействующая сила $F_{рез}$ (направлена от центра) и центростремительное ускорение $a_ц = v_{max}^2/L$ (где $L$ — длина нити):$m a_ц = F_{упр, max} - F_{рез}$Отсюда максимальная сила упругости:$F_{упр, max} = F_{рез} + m a_ц = F_{рез} + \frac{m v_{max}^2}{L}$

Максимальную скорость $v_{max}$ найдем, используя закон сохранения энергии. Согласно условию, нить с шаром отклонили от положения равновесия на угол $\alpha = 90^\circ$ и отпустили из состояния покоя ($v_0 = 0$). Это означает, что в начальный момент времени нить была перпендикулярна направлению силы $\vec{F}_{рез}$.

Применим закон сохранения механической энергии для начального положения (индекс 1) и положения равновесия (индекс 2). Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в положении равновесия. Тогда в начальном положении "высота" шара над положением равновесия в поле эффективной силы тяжести равна $h_1 = L$, а потенциальная энергия $U_1 = F_{рез}L$. В положении равновесия $h_2=0$ и $U_2=0$.$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$0 + F_{рез}L = \frac{1}{2}m v_{max}^2 + 0$

Из этого уравнения выразим член $\frac{m v_{max}^2}{L}$:$\frac{m v_{max}^2}{L} = 2F_{рез}$

Подставим полученное выражение в формулу для максимальной силы натяжения:$F_{упр, max} = F_{рез} + 2F_{рез} = 3F_{рез}$

Таким образом, максимальная сила натяжения равна утроенному модулю равнодействующей силы тяжести и электрической силы:$F_{упр, max} = 3 \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$

Произведем вычисления:$F_g = mg = 0.01 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0.1 \text{ Н}$$F_e = qE = (1.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (30 \cdot 10^3 \text{ В/м}) = 0.03 \text{ Н}$$F_{упр, max} = 3 \sqrt{(0.1 \text{ Н})^2 + (0.03 \text{ Н})^2} = 3 \sqrt{0.01 \text{ Н}^2 + 0.0009 \text{ Н}^2} = 3 \sqrt{0.0109} \text{ Н}$$F_{упр, max} \approx 3 \cdot 0.1044 \text{ Н} \approx 0.3132 \text{ Н}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных):$F_{упр, max} \approx 0.31 \text{ Н}$

Ответ: максимальное значение модуля силы упругости нити равно $0.31 \text{ Н}$.