Номер 953, страница 175 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряды шариков: $q_1 = q_2 = q$

Минимальное расстояние между шариками: $r_{min} = l$

Максимальное расстояние между шариками: $r_{max} = 4l$

Длина пружины в свободном состоянии: $l_0 = 2l$

Найти:

Жесткость пружины $k$

Решение:

Система, состоящая из двух шариков и пружины, является замкнутой. Силы, действующие внутри системы (сила упругости пружины и сила кулоновского отталкивания), являются консервативными. Поэтому для данной системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шариков $E_k$, потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_{p, spring}$ и потенциальной энергии электростатического взаимодействия зарядов $E_{p, el}$:

$E = E_k + E_{p, spring} + E_{p, el}$

Потенциальная энергия пружины определяется по формуле $E_{p, spring} = \frac{1}{2}k (\Delta x)^2$, где $k$ – жесткость пружины, а $\Delta x = r - l_0$ – её деформация (изменение длины относительно свободного состояния).

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов $q$ на расстоянии $r$ друг от друга равна $E_{p, el} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r}$, где $\epsilon_0$ – электрическая постоянная.

Колебания происходят между двумя крайними точками, в которых расстояние между шариками минимально ($r_{min} = l$) и максимально ($r_{max} = 4l$). В этих точках шарики на мгновение останавливаются, поэтому их скорости, а следовательно и кинетическая энергия ($E_k$), равны нулю.

Таким образом, полная энергия системы в этих крайних точках равна сумме потенциальных энергий.

Запишем выражение для полной энергии в момент, когда расстояние между шариками минимально ($r = l$):

$E_1 = \frac{1}{2}k(l - l_0)^2 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l}$

Подставим $l_0 = 2l$:

$E_1 = \frac{1}{2}k(l - 2l)^2 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l} = \frac{1}{2}k(-l)^2 + \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} = \frac{1}{2}kl^2 + \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l}$

Теперь запишем выражение для полной энергии в момент, когда расстояние между шариками максимально ($r = 4l$):

$E_2 = \frac{1}{2}k(4l - l_0)^2 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{4l}$

Подставим $l_0 = 2l$:

$E_2 = \frac{1}{2}k(4l - 2l)^2 + \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (4l)} = \frac{1}{2}k(2l)^2 + \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l} = 2kl^2 + \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной, следовательно $E_1 = E_2$:

$\frac{1}{2}kl^2 + \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} = 2kl^2 + \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомую жесткость $k$, в левой части уравнения, а остальные – в правой:

$2kl^2 - \frac{1}{2}kl^2 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} - \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l}$

$kl^2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$

$kl^2 \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} \left( \frac{3}{4} \right)$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{3}{2}$:

$kl^2 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l} \cdot \frac{1}{2}$

$kl^2 = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 l}$

Выразим жесткость пружины $k$:

$k = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 l \cdot l^2} = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 l^3}$

Ответ: $k = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 l^3}$