Номер 946, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость каждого электрона, $v_0 = 1,0 \cdot 10^6$ м/с.

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Заряд электрона по модулю, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Электрическая постоянная, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Найти:

Наименьшее расстояние сближения электронов, $r_{min}$.

Решение:

Система из двух электронов является замкнутой, так как внешние силы на нее не действуют. Между электронами действуют только внутренние консервативные силы — кулоновские силы отталкивания. Следовательно, для этой системы выполняются законы сохранения полного импульса и полной механической энергии.

Начальное состояние: электроны находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга ($r_0 \to \infty$) и движутся навстречу друг другу со скоростями $v_0$.

Конечное состояние: электроны сблизились на минимальное расстояние $r_{min}$. В этот момент их скорости обращаются в ноль, так как вся начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию их взаимодействия.

Запишем закон сохранения энергии для системы из двух электронов. Полная энергия системы в начальном состоянии ($E_0$) равна сумме кинетических энергий электронов, так как их потенциальная энергия взаимодействия на бесконечном расстоянии равна нулю.

$E_0 = K_0 + U_0 = \left(\frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{m_e v_0^2}{2}\right) + \frac{k e^2}{r_0}$

Поскольку $r_0 \to \infty$, то $U_0 = 0$. Таким образом, начальная энергия системы:

$E_0 = m_e v_0^2$

В момент наибольшего сближения на расстояние $r_{min}$ скорости электронов равны нулю (согласно закону сохранения импульса, так как начальный импульс системы равен нулю). Следовательно, кинетическая энергия системы в этот момент равна нулю ($K_{min} = 0$). Вся энергия системы представляет собой потенциальную энергию их взаимодействия:

$E_{min} = K_{min} + U_{min} = 0 + \frac{k e^2}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии $E_0 = E_{min}$:

$m_e v_0^2 = \frac{k e^2}{r_{min}}$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{k e^2}{m_e v_0^2}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$r_{min} = \frac{(9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1,0 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 1,0 \cdot 10^{12}} = \frac{23,04 \cdot 10^{-29}}{9,11 \cdot 10^{-19}} \approx 2,53 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: $r_{min} \approx 2,53 \cdot 10^{-10}$ м.