Номер 947, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Масса электрона: $m_e$

Заряд электрона: $q_e = -e$, где $e$ - элементарный заряд

Начальная скорость первого электрона: $v_1 = 0$

Начальная скорость второго электрона: $v_2 = v$

Начальное расстояние между электронами: $r_1 \to \infty$

Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона): $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Найти:

Наименьшее расстояние сближения электронов: $r_{min}$

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из двух электронов. Так как внешние силы отсутствуют (или их действием можно пренебречь), система является замкнутой. Следовательно, для нее выполняются законы сохранения импульса и полной механической энергии. Сила взаимодействия между электронами (сила Кулона) является консервативной.

1. Начальное состояние системы (индекс 1)

Электроны находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга ($r_1 \to \infty$), поэтому их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю:

$W_{p1} = k \frac{e^2}{r_1} = 0$

Один электрон покоится ($v_1=0$), а другой движется со скоростью $v$. Начальный импульс системы равен:

$P_1 = m_e v_1 + m_e v_2 = m_e \cdot 0 + m_e v = m_e v$

Начальная кинетическая энергия системы равна:

$W_{k1} = \frac{m_e v_1^2}{2} + \frac{m_e v_2^2}{2} = 0 + \frac{m_e v^2}{2} = \frac{m_e v^2}{2}$

Полная начальная энергия системы:

$W_1 = W_{k1} + W_{p1} = \frac{m_e v^2}{2}$

2. Конечное состояние системы (индекс 2)

Электроны сближаются на минимальное расстояние $r_{min}$. В этот момент их относительная скорость равна нулю, то есть их скорости становятся одинаковыми. Обозначим эту скорость как $u$.

Согласно закону сохранения импульса:

$P_1 = P_2$

$m_e v = m_e u + m_e u = 2 m_e u$

Отсюда находим скорость $u$:

$u = \frac{v}{2}$

Кинетическая энергия системы в этот момент:

$W_{k2} = \frac{m_e u^2}{2} + \frac{m_e u^2}{2} = m_e u^2 = m_e \left(\frac{v}{2}\right)^2 = \frac{m_e v^2}{4}$

Потенциальная энергия взаимодействия электронов на расстоянии $r_{min}$:

$W_{p2} = k \frac{(-e)(-e)}{r_{min}} = k \frac{e^2}{r_{min}}$

Полная энергия системы в конечном состоянии:

$W_2 = W_{k2} + W_{p2} = \frac{m_e v^2}{4} + k \frac{e^2}{r_{min}}$

3. Применение закона сохранения энергии

Приравняем полную энергию системы в начальном и конечном состояниях:

$W_1 = W_2$

$\frac{m_e v^2}{2} = \frac{m_e v^2}{4} + k \frac{e^2}{r_{min}}$

Теперь выразим $r_{min}$:

$k \frac{e^2}{r_{min}} = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{m_e v^2}{4}$

$k \frac{e^2}{r_{min}} = \frac{m_e v^2}{4}$

$r_{min} = \frac{4 k e^2}{m_e v^2}$

Заменив $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получим:

$r_{min} = \frac{4 e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e v^2} = \frac{e^2}{\pi\epsilon_0 m_e v^2}$

Ответ: $r_{min} = \frac{4 k e^2}{m_e v^2}$ или $r_{min} = \frac{e^2}{\pi\epsilon_0 m_e v^2}$.