Номер 948, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса каждого электрона: $m$
Заряд каждого электрона: $-e$
Начальная скорость первого электрона: $v_1 = v$
Начальная скорость второго электрона: $v_2 = 3v$
Начальное расстояние между электронами: $r_i \rightarrow \infty$

Найти:

Минимальное расстояние сближения $r_{min}$.

Решение:

Система, состоящая из двух электронов, является замкнутой, так как внешние силы отсутствуют (гравитационным взаимодействием пренебрегаем). Следовательно, для этой системы выполняются законы сохранения импульса и полной механической энергии.

1. Начальное состояние системы.

Когда электроны находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю ($U_i = 0$). Полная начальная энергия системы $E_i$ равна сумме их кинетических энергий:

$E_i = K_1 + K_2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{9}{2}mv^2 = 5mv^2$

Выберем одномерную систему координат, ось которой совпадает с прямой движения электронов. Пусть первый электрон движется в положительном направлении оси, тогда его скорость $v_1 = v$. Второй электрон движется навстречу, его скорость $v_2 = -3v$. Начальный импульс системы $P_i$ равен:

$P_i = mv_1 + mv_2 = mv + m(-3v) = -2mv$

2. Конечное состояние системы (момент максимального сближения).

В момент, когда расстояние между электронами минимально ($r_{min}$), их относительная скорость равна нулю. Это означает, что они движутся как единое целое с некоторой одинаковой скоростью $v'$. Конечный импульс системы $P_f$ равен:

$P_f = mv' + mv' = 2mv'$

3. Применение законов сохранения.

По закону сохранения импульса $P_i = P_f$:

$-2mv = 2mv'$

Отсюда находим скорость электронов в момент максимального сближения:

$v' = -v$

Полная конечная энергия системы $E_f$ складывается из их суммарной кинетической энергии $K_f$ и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия $U_f$:

$E_f = K_f + U_f = (\frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}mv'^2) + \frac{k(-e)(-e)}{r_{min}} = mv'^2 + \frac{ke^2}{r_{min}}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — постоянная в законе Кулона.

Подставим найденное значение $v' = -v$ в выражение для $E_f$:

$E_f = m(-v)^2 + \frac{ke^2}{r_{min}} = mv^2 + \frac{ke^2}{r_{min}}$

По закону сохранения энергии $E_i = E_f$:

$5mv^2 = mv^2 + \frac{ke^2}{r_{min}}$

4. Нахождение $r_{min}$.

Решим полученное уравнение относительно $r_{min}$:

$5mv^2 - mv^2 = \frac{ke^2}{r_{min}}$

$4mv^2 = \frac{ke^2}{r_{min}}$

$r_{min} = \frac{ke^2}{4mv^2}$

Если выразить постоянную $k$ через электрическую постоянную $\epsilon_0$, то ответ будет выглядеть так:

$r_{min} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \cdot 4mv^2} = \frac{e^2}{16\pi\epsilon_0 mv^2}$

Ответ: Минимальное расстояние, на которое могут сблизиться электроны, равно $r_{min} = \frac{ke^2}{4mv^2}$, где $k$ - постоянная Кулона, $e$ - элементарный заряд, $m$ - масса электрона, $v$ - модуль скорости первого электрона.