Номер 954, страница 175 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10$ кг

$q = 2,0$ мкКл

$E = 30$ кВ/м

$\alpha = 90^\circ$

$g \approx 9,8$ м/с²

$q = 2,0 \text{ мкКл} = 2,0 \cdot 10^{-6}$ Кл
$E = 30 \frac{\text{кВ}}{\text{м}} = 30 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Найти:

$F_{упр_{max}}$

Решение:

Максимальное значение силы упругости нити (силы натяжения) достигается в нижней точке траектории, когда нить расположена вертикально. В этой точке скорость шара максимальна.

Для нахождения скорости шара в нижней точке воспользуемся законом сохранения энергии. На шар действуют консервативные силы: сила тяжести и сила со стороны электростатического поля. Сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости, поэтому ее работа равна нулю.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое низкое положение шара (когда нить вертикальна). Пусть длина нити равна $L$.

В начальном положении (горизонтальное положение нити, $\alpha = 90^\circ$):

Высота шара над нулевым уровнем $h_1 = L$.

Начальная скорость $v_1 = 0$.

Потенциальная энергия системы в начальном положении является суммой гравитационной и электрической потенциальных энергий. Так как электрическое поле направлено вертикально вниз, электрическая сила $F_э = qE$ также направлена вниз (заряд $q$ положительный).

$W_{p1} = mgh_1 + qEh_1 = (mg + qE)L$

Полная механическая энергия в начальном положении:

$W_1 = W_{k1} + W_{p1} = 0 + (mg + qE)L = (mg + qE)L$

В конечном положении (вертикальное положение нити):

Высота шара $h_2 = 0$, следовательно, потенциальная энергия $W_{p2} = 0$.

Скорость шара равна $v_2$. Кинетическая энергия $W_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$.

Полная энергия в конечном положении: $W_2 = W_{k2} + W_{p2} = \frac{mv_2^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, $W_1 = W_2$:

$(mg + qE)L = \frac{mv_2^2}{2}$

Отсюда находим квадрат скорости в нижней точке:

$v_2^2 = \frac{2(mg + qE)L}{m}$

Теперь применим второй закон Ньютона для шара в нижней точке траектории. В этой точке на шар действуют три силы: сила натяжения нити $F_{упр}$, направленная вверх; сила тяжести $mg$, направленная вниз; электрическая сила $F_э = qE$, направленная вниз. Равнодействующая этих сил сообщает шару центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_2^2}{L}$, направленное к центру окружности (вверх).

В проекции на вертикальную ось:

$F_{упр} - mg - qE = m a_ц = m \frac{v_2^2}{L}$

Отсюда выражаем силу натяжения нити:

$F_{упр} = mg + qE + m \frac{v_2^2}{L}$

Подставим выражение для $v_2^2$ из закона сохранения энергии:

$F_{упр} = mg + qE + m \frac{1}{L} \left( \frac{2(mg + qE)L}{m} \right)$

$F_{упр} = mg + qE + 2(mg + qE)$

$F_{упр} = 3(mg + qE)$

Проведем вычисления:

$F_{упр} = 3 \cdot (0,10 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 30 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}})$

$F_{упр} = 3 \cdot (0,98 \text{ Н} + 0,06 \text{ Н})$

$F_{упр} = 3 \cdot (1,04 \text{ Н})$

$F_{упр} = 3,12 \text{ Н}$

Ответ: $3,12$ Н.