Номер 960, страница 177 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$H = 3,0 \text{ м}$

$q_1 = -4,0 \text{ мкКл} = -4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$h = 2,2 \text{ м}$

$m = 0,90 \text{ г} = 0,90 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$q_2 = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Постоянные:

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$ — минимальное значение модуля начальной скорости.

Решение:

На частицу с зарядом $q_2$ действуют две силы по вертикали: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и сила Кулона $F_к$, направленная вверх (так как заряды $q_1$ и $q_2$ разноименные и притягиваются). Чтобы частица достигла поверхности Земли, ей необходимо преодолеть точку, в которой суммарная потенциальная энергия будет максимальной. Эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, где сумма сил, действующих на частицу, равна нулю.

Пусть $y$ — высота частицы над поверхностью Земли. Расстояние между зарядами будет равно $r = H - y$.

Условие равновесия: $F_т = F_к$.

$mg = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{eq}^2}$, где $r_{eq}$ — расстояние между зарядами в положении равновесия.

Выразим $r_{eq}$:

$r_{eq} = \sqrt{\frac{k |q_1 q_2|}{mg}}$

Подставим числовые значения:

$r_{eq} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot |-4,0 \cdot 10^{-6} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6}|}{0,90 \cdot 10^{-3} \cdot 10}} = \sqrt{\frac{0,036}{0,009}} = \sqrt{4} = 2,0 \text{ м}$

Высота положения равновесия $y_{eq}$ над Землей:

$y_{eq} = H - r_{eq} = 3,0 - 2,0 = 1,0 \text{ м}$

Начальная высота частицы $h = 2,2$ м, что больше $y_{eq} = 1,0$ м. В начальной точке сила Кулона превосходит силу тяжести, и суммарная сила направлена вверх. Чтобы частица смогла пройти точку равновесия $y_{eq}$ и начать двигаться к Земле под действием преобладающей силы тяжести, ей необходимо сообщить минимальную начальную скорость $v_0$. Эта скорость должна быть достаточной, чтобы частица достигла точки $y_{eq}$ с нулевой скоростью.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия системы в начальный момент времени (на высоте $h$) равна полной энергии в точке равновесия (на высоте $y_{eq}$).

$E_{полн_1} = E_{полн_2}$

$E_{к_1} + E_{п.т_1} + E_{п.э_1} = E_{к_2} + E_{п.т_2} + E_{п.э_2}$

где $E_к$ — кинетическая энергия, $E_{п.т}$ — потенциальная энергия в поле тяжести, $E_{п.э}$ — потенциальная энергия электростатического взаимодействия.

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh + \frac{k q_1 q_2}{H-h} = \frac{mv_2^2}{2} + mgy_{eq} + \frac{k q_1 q_2}{H-y_{eq}}$

По условию минимальной начальной скорости, скорость в точке равновесия $v_2 = 0$.

$\frac{mv_0^2}{2} = mg(y_{eq} - h) + k q_1 q_2 \left( \frac{1}{H-y_{eq}} - \frac{1}{H-h} \right)$

Подставим значения:

$\frac{mv_0^2}{2} = 0,90 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot (1,0 - 2,2) + 9 \cdot 10^9 \cdot (-4,0 \cdot 10^{-6}) \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \left( \frac{1}{3,0 - 1,0} - \frac{1}{3,0 - 2,2} \right)$

$\frac{mv_0^2}{2} = 0,009 \cdot (-1,2) - 0,036 \left( \frac{1}{2,0} - \frac{1}{0,8} \right)$

$\frac{mv_0^2}{2} = -0,0108 - 0,036 (0,5 - 1,25)$

$\frac{mv_0^2}{2} = -0,0108 - 0,036 (-0,75)$

$\frac{mv_0^2}{2} = -0,0108 + 0,027$

$\frac{mv_0^2}{2} = 0,0162 \text{ Дж}$

Теперь найдем $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2 \cdot 0,0162}{m} = \frac{0,0324}{0,90 \cdot 10^{-3}} = 36 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2$

$v_0 = \sqrt{36} = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.