Номер 967, страница 178 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$W_1 = 1,0$ мДж

$W_2 = 3,6$ мДж

Шары одинаковые, находятся на очень большом расстоянии друг от друга.

Перевод в систему СИ:

$W_1 = 1,0 \cdot 10^{-3}$ Дж

$W_2 = 3,6 \cdot 10^{-3}$ Дж

Найти:

$Q$ — ?

Решение:

Энергия электрического поля уединенного заряженного проводящего шара выражается формулой:

$W = \frac{q^2}{2C}$

где $q$ — заряд шара, а $C$ — его электроемкость. Поскольку по условию шары одинаковые, их электроемкости равны.

Из этой формулы можно выразить модули зарядов шаров до их соединения:

$|q_1| = \sqrt{2CW_1}$

$|q_2| = \sqrt{2CW_2}$

Начальная энергия системы двух шаров, находящихся на большом расстоянии друг от друга (энергией их взаимодействия можно пренебречь), равна сумме их энергий:

$W_{нач} = W_1 + W_2$

После соединения шаров проволокой они образуют единую проводящую систему. Заряд перераспределится между ними так, чтобы их потенциалы стали равными. В соответствии с законом сохранения заряда, суммарный заряд системы останется прежним: $q_{общ} = q_1 + q_2$.

Так как шары одинаковы, их емкости равны, и общий заряд распределится между ними поровну:

$q'_1 = q'_2 = \frac{q_{общ}}{2} = \frac{q_1 + q_2}{2}$

Конечная энергия системы будет равна сумме энергий двух шаров после перераспределения заряда:

$W_{кон} = \frac{(q'_1)^2}{2C} + \frac{(q'_2)^2}{2C} = 2 \cdot \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{2C} = \frac{(q_1 + q_2)^2}{4C}$

Количество теплоты $Q$, выделившееся при соединении, равно разности начальной и конечной энергий системы:

$Q = W_{нач} - W_{кон} = (W_1 + W_2) - \frac{(q_1 + q_2)^2}{4C}$

В условии задачи не указано, являются ли заряды шаров одноименными или разноименными. Поэтому необходимо рассмотреть оба случая.

1. Шары заряжены одноименно.

В этом случае знаки зарядов $q_1$ и $q_2$ одинаковы. Суммарный заряд равен сумме модулей зарядов: $q_{общ} = |q_1| + |q_2| = \sqrt{2CW_1} + \sqrt{2CW_2}$.

Подставим это выражение в формулу для конечной энергии:

$W_{кон} = \frac{(\sqrt{2CW_1} + \sqrt{2CW_2})^2}{4C} = \frac{2C(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2})^2}{4C} = \frac{(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2})^2}{2}$

Тогда количество выделившейся теплоты равно:

$Q_1 = (W_1 + W_2) - \frac{(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2})^2}{2} = (W_1 + W_2) - \frac{W_1 + 2\sqrt{W_1W_2} + W_2}{2} = \frac{2W_1 + 2W_2 - W_1 - 2\sqrt{W_1W_2} - W_2}{2} = \frac{W_1 - 2\sqrt{W_1W_2} + W_2}{2} = \frac{(\sqrt{W_2} - \sqrt{W_1})^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$Q_1 = \frac{(\sqrt{3,6 \cdot 10^{-3}} - \sqrt{1,0 \cdot 10^{-3}})^2}{2} = \frac{(\sqrt{3,6} - \sqrt{1,0})^2 \cdot 10^{-3}}{2} \approx \frac{(1,897 - 1,0)^2 \cdot 10^{-3}}{2} = \frac{0,897^2 \cdot 10^{-3}}{2} \approx \frac{0,805 \cdot 10^{-3}}{2} \approx 0,40 \cdot 10^{-3}$ Дж.

$Q_1 = 0,40$ мДж.

2. Шары заряжены разноименно.

В этом случае знаки зарядов $q_1$ и $q_2$ противоположны. Модуль суммарного заряда равен разности модулей зарядов: $|q_{общ}| = ||q_2| - |q_1|| = |\sqrt{2CW_2} - \sqrt{2CW_1}|$.

Конечная энергия зависит от квадрата суммарного заряда, поэтому:

$W_{кон} = \frac{(\sqrt{2CW_2} - \sqrt{2CW_1})^2}{4C} = \frac{2C(\sqrt{W_2} - \sqrt{W_1})^2}{4C} = \frac{(\sqrt{W_2} - \sqrt{W_1})^2}{2}$

Тогда количество выделившейся теплоты равно:

$Q_2 = (W_1 + W_2) - \frac{(\sqrt{W_2} - \sqrt{W_1})^2}{2} = (W_1 + W_2) - \frac{W_2 - 2\sqrt{W_1W_2} + W_1}{2} = \frac{2W_1 + 2W_2 - W_2 + 2\sqrt{W_1W_2} - W_1}{2} = \frac{W_1 + W_2 + 2\sqrt{W_1W_2}}{2} = \frac{(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2})^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$Q_2 = \frac{(\sqrt{1,0 \cdot 10^{-3}} + \sqrt{3,6 \cdot 10^{-3}})^2}{2} = \frac{(\sqrt{1,0} + \sqrt{3,6})^2 \cdot 10^{-3}}{2} \approx \frac{(1,0 + 1,897)^2 \cdot 10^{-3}}{2} = \frac{2,897^2 \cdot 10^{-3}}{2} \approx \frac{8,393 \cdot 10^{-3}}{2} \approx 4,2 \cdot 10^{-3}$ Дж.

$Q_2 = 4,2$ мДж.

Ответ:

Поскольку в условии не указаны знаки зарядов шаров, задача имеет два возможных решения:

1. Если шары заряжены одноименно, выделится количество теплоты $Q = 0,40$ мДж.

2. Если шары заряжены разноименно, выделится количество теплоты $Q = 4,2$ мДж.