Номер 959, страница 176 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 4,0$ г $ = 4,0 \times 10^{-3}$ кг

$m_2 = 5,0$ г $ = 5,0 \times 10^{-3}$ кг

$q_1 = 1,0$ мкКл $ = 1,0 \times 10^{-6}$ Кл

$q_2 = -1,0$ мкКл $ = -1,0 \times 10^{-6}$ Кл

$r = 10$ см $ = 0,1$ м

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл².

Найти:

$v_{min}$ — минимальное значение модуля скорости второй частицы.

Решение:

Поскольку первая частица неподвижна, а на вторую частицу действует только консервативная сила кулоновского притяжения, то для второй частицы выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $U$ электростатического взаимодействия.

$E = K + U = \text{const}$

В начальном состоянии (в момент времени $t=0$) вторая частица находится на расстоянии $r$ от первой и имеет скорость $v$. Её полная энергия равна:

$E_1 = K_1 + U_1 = \frac{m_2 v^2}{2} + k\frac{q_1 q_2}{r}$

Чтобы вторая частица не столкнулась с первой, она должна преодолеть силу притяжения и уйти на бесконечно большое расстояние от нее. Минимальная начальная скорость $v_{min}$ соответствует такому случаю, когда частица достигает бесконечности с нулевой скоростью. В этом конечном состоянии расстояние между частицами $r_2 \to \infty$, а скорость второй частицы $v_2 = 0$.

Полная энергия в конечном состоянии будет равна:

$E_2 = K_2 + U_2 = \frac{m_2 v_2^2}{2} + k\frac{q_1 q_2}{r_2}$

При $v_2 = 0$ и $r_2 \to \infty$, кинетическая энергия $K_2 = 0$ и потенциальная энергия $U_2 \to 0$. Следовательно, полная энергия в конечном состоянии равна нулю: $E_2 = 0$.

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{m_2 v_{min}^2}{2} + k\frac{q_1 q_2}{r} = 0$

Из этого уравнения выразим искомую минимальную скорость $v_{min}$:

$\frac{m_2 v_{min}^2}{2} = -k\frac{q_1 q_2}{r}$

$v_{min}^2 = -\frac{2 k q_1 q_2}{m_2 r}$

$v_{min} = \sqrt{-\frac{2 k q_1 q_2}{m_2 r}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_{min} = \sqrt{-\frac{2 \cdot (9 \times 10^9 \text{ Н·м²/Кл²}) \cdot (1,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (-1,0 \times 10^{-6} \text{ Кл})}{(5,0 \times 10^{-3} \text{ кг}) \cdot 0,1 \text{ м}}}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6}}{5,0 \cdot 10^{-3} \cdot 0,1}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 10^{-3}}{5,0 \cdot 10^{-4}}}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{18}{5,0} \cdot 10^{1}} = \sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36}$

$v_{min} = 6$ м/с

Ответ: минимальное значение модуля скорости, при котором вторая частица не столкнется с первой, равно 6 м/с.