Номер 977, страница 179 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Плоский конденсатор с начальными параметрами: электроемкость $C_0$, заряд $q_0$, напряжение $U_0$.

Площадь пластин конденсатора: $S$.

Расстояние между пластинами: $d$.

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика: $\epsilon$.

Диэлектрик заполняет объем между половиной площади пластин ($S/2$).

Найти:

Как изменятся электроемкость $C$, заряд $q$ и напряжение $U$.

Решение:

Поскольку в условии говорится о "заряженном" конденсаторе, в который помещают диэлектрик, будем считать, что конденсатор был заряжен и отключен от источника питания. В этом случае он является изолированной системой, и его полный заряд $q$ остается постоянным.

Электроемкость C

Начальная электроемкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой:

$C_0 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

После внесения диэлектрика, который заполняет пространство под половиной площади пластин, систему можно рассматривать как два конденсатора, соединенных параллельно.

Первый конденсатор ($C_1$) — это часть с диэлектриком, его площадь $S_1 = S/2$. Его емкость:

$C_1 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S_1}{d} = \frac{\epsilon \epsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{2d}$

Второй конденсатор ($C_2$) — это часть без диэлектрика (воздушная), его площадь $S_2 = S/2$. Его емкость:

$C_2 = \frac{\epsilon_0 S_2}{d} = \frac{\epsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 S}{2d}$

При параллельном соединении общая емкость системы $C$ равна сумме емкостей:

$C = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{2d} + \frac{\epsilon_0 S}{2d} = \frac{\epsilon_0 S}{2d}(\epsilon + 1)$

Выразим новую емкость $C$ через начальную $C_0$:

$C = \left(\frac{\epsilon_0 S}{d}\right) \frac{\epsilon + 1}{2} = C_0 \frac{\epsilon + 1}{2}$

Так как для любого диэлектрика диэлектрическая проницаемость $\epsilon > 1$, то множитель $\frac{\epsilon + 1}{2} > 1$. Это означает, что электроемкость конденсатора увеличится.

Ответ: Электроемкость $C$ увеличится в $\frac{\epsilon + 1}{2}$ раз.

Заряд q

Как было указано выше, конденсатор заряжен и отключен от источника. В изолированной системе электрический заряд на обкладках сохраняется по закону сохранения заряда.

$q = q_0$

Ответ: Заряд $q$ на конденсаторе не изменится.

Напряжение U

Напряжение, заряд и емкость конденсатора связаны соотношением $U = q/C$.

Начальное напряжение: $U_0 = \frac{q_0}{C_0}$.

Конечное напряжение: $U = \frac{q}{C}$.

Подставим значения для конечного заряда и емкости:

$U = \frac{q_0}{C_0 \frac{\epsilon + 1}{2}} = \frac{q_0}{C_0} \cdot \frac{2}{\epsilon + 1}$

Заменяя $\frac{q_0}{C_0}$ на $U_0$, получаем:

$U = U_0 \frac{2}{\epsilon + 1}$

Поскольку $\epsilon > 1$, то знаменатель $(\epsilon + 1) > 2$, а вся дробь $\frac{2}{\epsilon + 1} < 1$. Это означает, что напряжение на конденсаторе уменьшится.

Ответ: Напряжение $U$ на конденсаторе уменьшится в $\frac{\epsilon + 1}{2}$ раз.