Номер 982, страница 180 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$C_1 = \frac{2}{3}$ нФ = $\frac{2}{3} \cdot 10^{-9}$ Ф

$C_2 = \frac{5}{3}$ нФ = $\frac{5}{3} \cdot 10^{-9}$ Ф

$d = 2,0$ мм = $2,0 \cdot 10^{-3}$ м

$U = 5,6$ кВ = $5,6 \cdot 10^3$ В

Найти:

$E$

Решение:

Конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно. При последовательном соединении заряды на обкладках конденсаторов одинаковы:

$q_1 = q_2 = q$

Напряжение на каждом конденсаторе определяется его емкостью и зарядом:

$U_1 = \frac{q}{C_1}$

$U_2 = \frac{q}{C_2}$

Поскольку $C_1 < C_2$ ($\frac{2}{3} \text{ нФ} < \frac{5}{3} \text{ нФ}$), то при одинаковом заряде $q$ напряжение на первом конденсаторе будет больше, чем на втором: $U_1 > U_2$.

Пробой диэлектрика произойдет в том конденсаторе, где напряжение первым достигнет критического значения. Так как $U_1 > U_2$, пробой случится в первом конденсаторе ($C_1$).

Общее напряжение $U$ на системе из двух последовательно соединенных конденсаторов равно сумме напряжений на каждом из них:

$U = U_1 + U_2$

Используя соотношение $q = C_1 U_1 = C_2 U_2$, выразим $U_2$ через $U_1$: $U_2 = U_1 \frac{C_1}{C_2}$.

Подставим это выражение в формулу для общего напряжения:

$U = U_1 + U_1 \frac{C_1}{C_2} = U_1 \left(1 + \frac{C_1}{C_2}\right) = U_1 \frac{C_1 + C_2}{C_2}$

Когда общее напряжение достигает $U = 5,6$ кВ, напряжение на первом конденсаторе достигает своего пробивного значения, которое мы обозначим как $U_{проб}$. Из последнего уравнения выразим $U_{проб}$ (которое равно $U_1$ в момент пробоя):

$U_{проб} = U \frac{C_2}{C_1 + C_2}$

Подставим числовые значения емкостей:

$U_{проб} = 5,6 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot \frac{\frac{5}{3} \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}{\frac{2}{3} \cdot 10^{-9} \text{ Ф} + \frac{5}{3} \cdot 10^{-9} \text{ Ф}} = 5,6 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot \frac{\frac{5}{3}}{\frac{7}{3}} = 5,6 \cdot 10^3 \cdot \frac{5}{7} = 0,8 \cdot 10^3 \cdot 5 = 4 \cdot 10^3$ В.

Следовательно, пробивное напряжение для одного конденсатора составляет $4$ кВ.

Модуль напряженности $E$ электростатического поля в плоском конденсаторе (электрическая прочность диэлектрика) связан с пробивным напряжением $U_{проб}$ и толщиной диэлектрического слоя $d$ соотношением:

$E = \frac{U_{проб}}{d}$

Вычислим значение $E$:

$E = \frac{4 \cdot 10^3 \text{ В}}{2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 2 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: $E = 2 \cdot 10^6$ В/м.