Номер 985, страница 180 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Плоский воздушный конденсатор:

Площадь обкладок - $S$

Расстояние между обкладками - $d$

Внесенная пластинка - металлическая, тонкая, параллельна обкладкам

Размеры пластинки равны размерам обкладок.

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon \approx 1$.

Электрическая постоянная - $\epsilon_0$.

Найти:

Электроемкость конденсатора после внесения пластинки - $C_2$.

Решение:

Первоначальная электроемкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой: $C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{d}$ Поскольку диэлектрик - воздух ($\epsilon \approx 1$), то: $C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Когда внутрь конденсатора параллельно обкладкам вносят металлическую пластинку, система превращается в два последовательно соединенных конденсатора. Металлическая пластинка является проводником, поэтому ее поверхности, обращенные к обкладкам исходного конденсатора, становятся обкладками для двух новых конденсаторов.

Пусть толщина внесенной пластинки равна $b$. Предположим, что пластинка находится на расстоянии $x$ от одной из обкладок. Тогда расстояние до другой обкладки будет $d - x - b$.

Система эквивалентна двум последовательно соединенным конденсаторам:
1. Первый конденсатор ($C_A$) образован первой обкладкой и ближайшей к ней поверхностью металлической пластинки. Расстояние между его обкладками равно $x$. Его емкость: $C_A = \frac{\epsilon_0 S}{x}$
2. Второй конденсатор ($C_B$) образован второй обкладкой и другой поверхностью металлической пластинки. Расстояние между его обкладками равно $d - x - b$. Его емкость: $C_B = \frac{\epsilon_0 S}{d - x - b}$

Общая емкость $C_2$ при последовательном соединении конденсаторов находится по формуле: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B}$

Подставим выражения для $C_A$ и $C_B$: $\frac{1}{C_2} = \frac{x}{\epsilon_0 S} + \frac{d - x - b}{\epsilon_0 S}$

Сложим дроби: $\frac{1}{C_2} = \frac{x + (d - x - b)}{\epsilon_0 S} = \frac{d - b}{\epsilon_0 S}$

Отсюда находим новую емкость $C_2$: $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d - b}$

Из полученной формулы видно, что новая емкость не зависит от положения пластинки (от величины $x$), а зависит только от ее толщины $b$.

В условии задачи сказано, что пластинка "тонкая". В физических задачах это обычно означает, что ее толщиной можно пренебречь, то есть мы можем считать, что $b \to 0$.

Применим это условие к полученной формуле для $C_2$: $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d - 0} = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Сравнивая полученный результат с начальной емкостью $C_1$, видим, что они равны: $C_2 = C_1$

Таким образом, внесение в конденсатор идеализированной тонкой (с нулевой толщиной) металлической пластинки не изменяет его электроемкости.

Ответ: Электроемкость конденсатора после внесения пластинки не изменится и будет равна $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$.