Номер 991, страница 181 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$C_1 = 1,0 \text{ мкФ} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_1 = 1,0 \text{ кВ} = 1,0 \cdot 10^3 \text{ В}$

$C_2 = 2,0 \text{ мкФ} = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_2 = 2,0 \text{ кВ} = 2,0 \cdot 10^3 \text{ В}$

$C_3 = 3,0 \text{ мкФ} = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_3 = 5,0 \text{ кВ} = 5,0 \cdot 10^3 \text{ В}$

Найти:

Тип соединения для получения наибольшего напряжения $U_{max}$, значение $U_{max}$ и общую электроемкость $C$ батареи.

Решение:

Чтобы найти соединение, позволяющее получить наибольшее напряжение на батарее, необходимо рассмотреть все возможные схемы соединения трех конденсаторов, не допуская превышения максимально допустимого напряжения на каждом из них. Максимально допустимое напряжение на батарее $U_{max}$ будет ограничено либо напряжением пробоя одного из конденсаторов, либо суммой напряжений на них.

Сначала вычислим максимальный заряд, который может накопить каждый конденсатор:

$q_{1max} = C_1 U_1 = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 1,0 \cdot 10^3 \text{ В} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

$q_{2max} = C_2 U_2 = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 2,0 \cdot 10^3 \text{ В} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

$q_{3max} = C_3 U_3 = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 5,0 \cdot 10^3 \text{ В} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Рассмотрим различные варианты соединения.

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков и не может превышать наименьший из максимальных зарядов, т.е. $q_{общ} \le q_{1max} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$.

Напряжения на конденсаторах при этом заряде будут:

$U'_1 = q_{общ} / C_1 = 1,0 \cdot 10^{-3} / (1,0 \cdot 10^{-6}) = 1,0 \text{ кВ} = U_1$

$U'_2 = q_{общ} / C_2 = 1,0 \cdot 10^{-3} / (2,0 \cdot 10^{-6}) = 0,5 \text{ кВ} < U_2$

$U'_3 = q_{общ} / C_3 = 1,0 \cdot 10^{-3} / (3,0 \cdot 10^{-6}) \approx 0,33 \text{ кВ} < U_3$

Максимальное напряжение всей батареи: $U_{max} = U'_1 + U'_2 + U'_3 = 1,0 + 0,5 + 0,33 = 1,83 \text{ кВ}$.

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково и не может превышать наименьшее из максимальных напряжений, т.е. $U_{max} = \min(U_1, U_2, U_3) = 1,0 \text{ кВ}$.

3. Смешанные соединения.

а) Конденсатор $C_2$ последовательно с параллельно соединенными $C_1$ и $C_3$.

Емкость параллельного участка: $C_{13} = C_1 + C_3 = 1,0 + 3,0 = 4,0 \text{ мкФ}$.

Максимальное напряжение на этом участке: $U_{13max} = \min(U_1, U_3) = 1,0 \text{ кВ}$.

Максимальный заряд участка: $q_{13max} = C_{13} U_{13max} = 4,0 \cdot 10^{-6} \cdot 1,0 \cdot 10^3 = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$.

Всей цепью (последовательное соединение $C_2$ и блока $C_{13}$) будет управлять наименьший максимальный заряд: $q_{общ} = \min(q_{2max}, q_{13max}) = \min(4,0 \cdot 10^{-3}, 4,0 \cdot 10^{-3}) = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$.

Напряжение на $C_2$: $U'_2 = q_{общ} / C_2 = 4,0 \cdot 10^{-3} / (2,0 \cdot 10^{-6}) = 2,0 \text{ кВ} = U_2$.

Напряжение на блоке $C_{13}$: $U'_{13} = q_{общ} / C_{13} = 4,0 \cdot 10^{-3} / (4,0 \cdot 10^{-6}) = 1,0 \text{ кВ} = U_{13max}$.

Все напряжения не превышают допустимых. Максимальное напряжение батареи:

$U_{max} = U'_2 + U'_{13} = 2,0 \text{ кВ} + 1,0 \text{ кВ} = 3,0 \text{ кВ}$.

б) Конденсатор $C_1$ последовательно с параллельно соединенными $C_2$ и $C_3$.

Аналогично рассуждая, получим $U_{max} = 1,2 \text{ кВ}$.

в) Конденсатор $C_3$ последовательно с параллельно соединенными $C_1$ и $C_2$.

Аналогично рассуждая, получим $U_{max} = 2,0 \text{ кВ}$.

Сравнивая полученные значения напряжений ($1,83 \text{ кВ}; 1,0 \text{ кВ}; 3,0 \text{ кВ}; 1,2 \text{ кВ}; 2,0 \text{ кВ}$), делаем вывод, что максимальное напряжение достигается в схеме 3а.

Теперь определим общую электроемкость $C$ для этой схемы.

Конденсатор $C_2$ соединен последовательно с блоком $C_{13}$, поэтому общая емкость находится по формуле:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{13}} = \frac{1}{2,0 \text{ мкФ}} + \frac{1}{4,0 \text{ мкФ}} = \frac{2+1}{4,0 \text{ мкФ}} = \frac{3}{4,0 \text{ мкФ}}$

$C = \frac{4,0}{3} \text{ мкФ} \approx 1,33 \text{ мкФ}$.

Ответ: Наибольшее напряжение можно получить, если соединить конденсатор $C_2$ последовательно с параллельно соединенными конденсаторами $C_1$ и $C_3$. Максимальное напряжение на батарее $U_{max} = 3,0 \text{ кВ}$. Общая электроемкость этой батареи $C \approx 1,33 \text{ мкФ}$.