Номер 118, страница 29 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус цилиндра $R = 10 \text{ см}$
Модуль скорости верхней рейки $v_1 = 12 \frac{\text{см}}{\text{с}}$
Модуль скорости нижней рейки $v_2 = 8,0 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:
$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$v_1 = 12 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0,12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 8,0 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0,08 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Модуль угловой скорости вращения цилиндра $\omega$.

Решение:

Движение цилиндра можно представить как сумму поступательного движения его центра масс со скоростью $v_ц$ и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, с угловой скоростью $\omega$.

Выберем систему отсчета, связанную с землей, и направим ось Ox вправо, по направлению скорости верхней рейки $\vec{v_1}$. Согласно рисунку, проекция скорости верхней рейки на эту ось будет положительной, $v_{1x} = v_1 = 12 \frac{\text{см}}{\text{с}}$, а проекция скорости нижней рейки, движущейся в противоположном направлении, будет отрицательной, $v_{2x} = -v_2 = -8,0 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

Условие движения без проскальзывания означает, что скорости точек на поверхности цилиндра, которые соприкасаются с рейками, равны скоростям самих реек в этих точках.

Скорость верхней точки касания ($A$) на цилиндре равна сумме скорости центра масс $v_ц$ и линейной скорости вращения $\omega R$ (в этой точке векторы скорости поступательного и вращательного движений сонаправлены):

$v_{Ax} = v_{цx} + \omega R$

Поскольку $v_{Ax} = v_{1x}$, получаем первое уравнение:

$v_1 = v_{цx} + \omega R$

Скорость нижней точки касания ($B$) на цилиндре равна разности скорости центра масс $v_ц$ и линейной скорости вращения $\omega R$ (в этой точке векторы скорости поступательного и вращательного движений направлены в противоположные стороны):

$v_{Bx} = v_{цx} - \omega R$

Поскольку $v_{Bx} = v_{2x}$, получаем второе уравнение:

$-v_2 = v_{цx} - \omega R$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_{цx}$ и $\omega$:

$\begin{cases} v_1 = v_{цx} + \omega R \\ -v_2 = v_{цx} - \omega R \end{cases}$

Чтобы найти угловую скорость $\omega$, вычтем из первого уравнения второе:

$v_1 - (-v_2) = (v_{цx} + \omega R) - (v_{цx} - \omega R)$

$v_1 + v_2 = v_{цx} + \omega R - v_{цx} + \omega R$

$v_1 + v_2 = 2\omega R$

Отсюда выражаем искомую угловую скорость $\omega$:

$\omega = \frac{v_1 + v_2}{2R}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные из условия (единицы измерения см и см/с сократятся, поэтому переводить в СИ не обязательно):

$\omega = \frac{12 \frac{\text{см}}{\text{с}} + 8,0 \frac{\text{см}}{\text{с}}}{2 \cdot 10 \text{ см}} = \frac{20 \frac{\text{см}}{\text{с}}}{20 \text{ см}} = 1 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Ответ:

Модуль угловой скорости вращения цилиндра равен $1 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.