Номер 119, страница 30 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 20 \text{ с}^{-1}$

$r_1 = 8,0 \text{ см}$

$r_2 = 32 \text{ см}$

$r_3 = 16 \text{ см}$

$r_4 = 50 \text{ см}$

$r_1 = 0,08 \text{ м}$
$r_2 = 0,32 \text{ м}$
$r_3 = 0,16 \text{ м}$
$r_4 = 0,50 \text{ м}$

Найти:

$v_4$

Решение:

Задача описывает систему из двух ременных передач. Движение передается от шкива 1 к шкиву 2, а затем от шкива 3 к шкиву 4. Шкивы 2 и 3 жестко соединены и вращаются на одном валу.

1. Рассмотрим первую ременную передачу между шкивами 1 и 2. Поскольку ремень движется без проскальзывания, линейные скорости точек на ободах обоих шкивов равны линейной скорости ремня. Линейная скорость $v$ связана с частотой вращения $v$ и радиусом $r$ формулой $v = 2\pi r v$.

Следовательно, для шкивов 1 и 2 выполняется равенство:

$v_{лин1} = v_{лин2}$

$2\pi r_1 v_1 = 2\pi r_2 v_2$

Отсюда можно выразить частоту вращения шкива 2:

$v_2 = v_1 \frac{r_1}{r_2}$

2. Шкивы 2 и 3 жестко закреплены на одном валу. Это означает, что они вращаются как единое целое, то есть с одинаковой угловой скоростью и, следовательно, с одинаковой частотой вращения.

$v_3 = v_2$

3. Рассмотрим вторую ременную передачу между шкивами 3 и 4. Аналогично первому случаю, их линейные скорости на ободах равны:

$v_{лин3} = v_{лин4}$

$2\pi r_3 v_3 = 2\pi r_4 v_4$

Отсюда выразим искомую частоту вращения шкива 4:

$v_4 = v_3 \frac{r_3}{r_4}$

4. Теперь объединим полученные выражения. Подставим выражение для $v_3$ (которое равно $v_2$) в последнюю формулу, а затем подставим выражение для $v_2$.

$v_4 = v_2 \frac{r_3}{r_4} = \left(v_1 \frac{r_1}{r_2}\right) \frac{r_3}{r_4} = v_1 \frac{r_1 r_3}{r_2 r_4}$

5. Подставим числовые значения в итоговую формулу. Обратите внимание, что так как в формулу входят отношения радиусов, их можно подставлять в сантиметрах, так как единицы измерения сократятся.

$v_4 = 20 \text{ с}^{-1} \cdot \frac{8,0 \text{ см} \cdot 16 \text{ см}}{32 \text{ см} \cdot 50 \text{ см}} = 20 \cdot \frac{8 \cdot 16}{32 \cdot 50} \text{ с}^{-1}$

$v_4 = 20 \cdot \frac{128}{1600} \text{ с}^{-1} = 20 \cdot \frac{128}{16 \cdot 100} \text{ с}^{-1} = 20 \cdot \frac{8}{100} \text{ с}^{-1} = \frac{160}{100} \text{ с}^{-1} = 1,6 \text{ с}^{-1}$

Ответ: $v_4 = 1,6 \text{ с}^{-1}$.