Номер 116, страница 29 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 5,0 \frac{м}{с}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$v_B$

Решение:

Скорость любой точки на ободе катящегося колеса относительно Земли является векторной суммой двух скоростей: скорости поступательного движения центра колеса $\vec{v}_c$ и скорости вращательного движения точки относительно центра колеса $\vec{v}_{rot}$.

$\vec{v}_B = \vec{v}_c + \vec{v}_{rot}$

Скорость центра колеса $\vec{v}_c$ равна скорости велосипедиста $\vec{v}$ и направлена горизонтально.

При движении колеса без проскальзывания модуль скорости вращения любой точки на ободе относительно центра колеса равен модулю скорости поступательного движения центра:

$|\vec{v}_{rot}| = |\vec{v}_c| = v = 5,0 \frac{м}{с}$

Вектор скорости $\vec{v}_{rot}$ направлен по касательной к окружности колеса в точке B.

Найдем угол $\beta$ между векторами $\vec{v}_c$ и $\vec{v}_{rot}$. Введем систему координат, в которой ось Ox направлена горизонтально вправо (по направлению движения), а ось Oy – вертикально вверх. Центр колеса O находится в начале координат.

Вектор $\vec{v}_c$ направлен вдоль оси Ox, его угол с осью Ox равен $0^\circ$.

Радиус-вектор $\vec{OB}$ к точке B составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с положительным направлением оси Oy (с вертикалью). Следовательно, угол радиус-вектора $\vec{OB}$ с положительным направлением оси Ox составляет $\phi = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Колесо катится вправо, значит, оно вращается по часовой стрелке. Вектор вращательной скорости $\vec{v}_{rot}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{OB}$. Для вращения по часовой стрелке угол вектора $\vec{v}_{rot}$ с осью Ox равен $\phi_{rot} = \phi - 90^\circ = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, угол $\beta$ между векторами $\vec{v}_c$ (угол $0^\circ$) и $\vec{v}_{rot}$ (угол $60^\circ$) равен $60^\circ$.

Модуль результирующей скорости $v_B$ найдем по теореме косинусов для сложения векторов:

$v_B^2 = |\vec{v}_c|^2 + |\vec{v}_{rot}|^2 + 2 |\vec{v}_c| |\vec{v}_{rot}| \cos\beta$

Подставим известные значения:

$v_B^2 = v^2 + v^2 + 2 \cdot v \cdot v \cdot \cos(60^\circ)$

$v_B^2 = 2v^2 + 2v^2 \cdot \frac{1}{2} = 2v^2 + v^2 = 3v^2$

Отсюда находим модуль скорости:

$v_B = \sqrt{3v^2} = v\sqrt{3}$

Подставим числовое значение скорости $v$:

$v_B = 5,0 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{3} \approx 5,0 \cdot 1,732 \frac{м}{с} \approx 8,66 \frac{м}{с}$

С учетом значащих цифр, округляем результат до двух значащих цифр.

$v_B \approx 8,7 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_B = v\sqrt{3} \approx 8,7 \frac{м}{с}$.