Номер 110, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Обозначим параметры паровой турбины индексом 1, а гидротурбины — индексом 2.
Радиус рабочего колеса гидротурбины: $R_2$
Частота вращения гидротурбины: $f_2$
Радиус рабочего колеса паровой турбины: $R_1$
Частота вращения паровой турбины: $f_1$
По условию задачи известно, что радиус гидротурбины в 8 раз больше, а частота вращения в 40 раз меньше, чем у паровой турбины. Запишем это в виде соотношений:
$\frac{R_2}{R_1} = 8$
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{1}{40}$

Найти:

1. Отношение модулей линейных скоростей: $\frac{v_2}{v_1}$
2. Отношение модулей ускорений: $\frac{a_2}{a_1}$

Решение:

Отношение модулей линейных скоростей $\frac{v_2}{v_1}$

Линейная скорость точек на ободе вращающегося колеса связана с частотой вращения $f$ и радиусом $R$ формулой: $v = 2\pi f R$

Запишем выражения для линейных скоростей точек на ободах паровой (1) и гидротурбины (2):
$v_1 = 2\pi f_1 R_1$
$v_2 = 2\pi f_2 R_2$

Чтобы найти их отношение, разделим второе выражение на первое: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{2\pi f_2 R_2}{2\pi f_1 R_1} = \frac{f_2}{f_1} \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Подставим в полученную формулу заданные в условии соотношения: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{40} \cdot 8 = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: Отношение модулей линейных скоростей равно 0,2.

Отношение модулей ускорений $\frac{a_2}{a_1}$

При вращении точки на ободе колеса движутся с центростремительным ускорением, модуль которого определяется по формуле: $a = \omega^2 R = (2\pi f)^2 R = 4\pi^2 f^2 R$

Запишем выражения для ускорений точек на ободах паровой (1) и гидротурбины (2):
$a_1 = 4\pi^2 f_1^2 R_1$
$a_2 = 4\pi^2 f_2^2 R_2$

Найдем отношение их модулей: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{4\pi^2 f_2^2 R_2}{4\pi^2 f_1^2 R_1} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2 \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Подставим известные соотношения: $\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{1}{40}\right)^2 \cdot 8 = \frac{1}{1600} \cdot 8 = \frac{8}{1600} = \frac{1}{200} = 0,005$

Этот же результат можно получить, используя формулу $a = v^2/R$ и найденное ранее отношение скоростей: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{v_2^2/R_2}{v_1^2/R_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \cdot \frac{R_1}{R_2} = (0,2)^2 \cdot \frac{1}{8} = 0,04 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0,04}{8} = 0,005$

Ответ: Отношение модулей ускорений равно 0,005.