Номер 108, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T_1 = 5,0$ с

$T_2 = 2,0$ с

Данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся понятием угловой скорости. Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Угловая скорость первой точки, движущейся по ходу часовой стрелки, равна:

$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$

Угловая скорость второй точки, движущейся против хода часовой стрелки, равна:

$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$

Поскольку точки движутся навстречу друг другу, их относительная угловая скорость $\omega_{отн}$ будет равна сумме их угловых скоростей:

$\omega_{отн} = \omega_1 + \omega_2 = \frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2} = 2\pi(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2})$

Встреча точек происходит, когда угол, на который одна точка опережает другую, становится кратным $2\pi$. Время между двумя последовательными встречами ($\Delta t$) — это время, за которое относительный угол между точками изменяется на $2\pi$. Этот промежуток времени можно найти по формуле:

$\Delta t = \frac{2\pi}{\omega_{отн}}$

Подставим в эту формулу выражение для относительной угловой скорости:

$\Delta t = \frac{2\pi}{2\pi(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2})} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}}$

Преобразуем выражение, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$\Delta t = \frac{1}{\frac{T_2 + T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t = \frac{5,0 \text{ с} \cdot 2,0 \text{ с}}{5,0 \text{ с} + 2,0 \text{ с}} = \frac{10 \text{ с}^2}{7,0 \text{ с}} \approx 1,4 \text{ с}$

Ответ: Промежуток времени между двумя последовательными встречами точек составляет примерно $1,4$ с.