Номер 106, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 20 \text{ см}$

$N_1 = 60 \text{ оборотов}$

$N_2 = 40 \text{ оборотов}$

$t = 1 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0.2 \text{ м}$

$t = 60 \text{ с}$

Найти:

$R_2, v_1, v_2$

Решение:

Поскольку диски соединены ременной передачей и проскальзывание ремня отсутствует, линейные скорости точек на ободах обоих дисков одинаковы:

$v_1 = v_2$

Линейная скорость точек на ободе диска связана с частотой его вращения $n$ и радиусом $R$ по формуле:

$v = 2\pi n R$

Частота вращения $n$ определяется как число оборотов $N$ за промежуток времени $t$:

$n = \frac{N}{t}$

Найдем частоты вращения для каждого диска:

Для первого диска:

$n_1 = \frac{N_1}{t} = \frac{60 \text{ оборотов}}{60 \text{ с}} = 1 \text{ об/с} = 1 \text{ Гц}$

Для второго диска:

$n_2 = \frac{N_2}{t} = \frac{40 \text{ оборотов}}{60 \text{ с}} = \frac{2}{3} \text{ об/с} \approx 0.67 \text{ Гц}$

Теперь можем вычислить модуль линейной скорости точек на ободе первого диска:

$v_1 = 2\pi n_1 R_1 = 2\pi \cdot 1 \text{ с}^{-1} \cdot 0.2 \text{ м} = 0.4\pi \text{ м/с} \approx 1.26 \text{ м/с}$

Так как $v_1 = v_2$, то модуль линейной скорости точек на ободе второго диска также равен:

$v_2 = v_1 \approx 1.26 \text{ м/с}$

Для определения радиуса второго диска $R_2$ воспользуемся равенством линейных скоростей:

$2\pi n_1 R_1 = 2\pi n_2 R_2$

Сократив $2\pi$, получим:

$n_1 R_1 = n_2 R_2$

Отсюда выразим $R_2$:

$R_2 = R_1 \frac{n_1}{n_2} = 0.2 \text{ м} \cdot \frac{1 \text{ Гц}}{2/3 \text{ Гц}} = 0.2 \cdot \frac{3}{2} \text{ м} = 0.3 \text{ м}$

Ответ:

Радиус второго диска $R_2 = 0.3 \text{ м}$ (или $30 \text{ см}$). Модули линейных скоростей точек на ободах обоих дисков равны $v_1 = v_2 \approx 1.26 \text{ м/с}$.