Номер 100, страница 27 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0 \text{ м}$
$ν = 3,0 \text{ с}^{-1}$

Величины даны в системе СИ.

Найти:

$h$

Решение:

Камень вращается на стержне, описывая окружность радиусом $l$. В момент, когда камень обрывается, его линейная скорость $v$ направлена вертикально вверх. Эта скорость становится начальной скоростью для его дальнейшего движения под действием силы тяжести.

Сначала определим линейную скорость камня в момент отрыва. Она связана с угловой скоростью $ω$ и радиусом вращения $l$ (длиной стержня) по формуле:

$v = ωl$

Угловая скорость $ω$, в свою очередь, связана с частотой вращения $ν$:

$ω = 2πν$

Подставив второе выражение в первое, получим формулу для линейной скорости:

$v = 2πνl$

Вычислим значение скорости, подставив данные из условия задачи:

$v = 2 \cdot π \cdot 3,0 \text{ с}^{-1} \cdot 1,0 \text{ м} = 6π \text{ м/с}$

После отрыва камень будет двигаться вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = v$. На него будет действовать только сила тяжести, сообщающая ему ускорение $g$, направленное вниз. Движение камня будет равнозамедленным. Максимальная высота подъема $h$ (относительно точки отрыва) может быть найдена с помощью закона сохранения энергии.

В момент отрыва (на нулевой высоте) вся энергия камня является кинетической $E_к = \frac{mv^2}{2}$. В наивысшей точке траектории, на высоте $h$, скорость камня становится равной нулю, и вся его энергия переходит в потенциальную $E_п = mgh$.

Согласно закону сохранения энергии:

$E_к = E_п$

$\frac{mv^2}{2} = mgh$

Масса камня $m$ сокращается, и мы можем выразить высоту $h$:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для скорости $v = 2πνl$:

$h = \frac{(2πνl)^2}{2g} = \frac{4π^2ν^2l^2}{2g} = \frac{2π^2ν^2l^2}{g}$

Теперь произведем финальный расчет, используя стандартное значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$h = \frac{2 \cdot π^2 \cdot (3,0 \text{ с}^{-1})^2 \cdot (1,0 \text{ м})^2}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot π^2 \cdot 9,0 \cdot 1,0}{9,8} \text{ м} = \frac{18π^2}{9,8} \text{ м}$

Используя приближенное значение $π^2 \approx 9,87$:

$h \approx \frac{18 \cdot 9,87}{9,8} \text{ м} \approx 18,13 \text{ м}$

Так как исходные данные в задаче даны с двумя значащими цифрами (1,0 и 3,0), результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $h \approx 18 \text{ м}$.