Номер 98, страница 26 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус окружности: $R = 1,0$ м

Время одного оборота (период): $T = \Delta t = 2,0$ с

Часть оборота: $N_1 = \frac{3}{4}$

Найти:

Модуль средней скорости перемещения $|⟨\vec{v}⟩|$

Решение:

Средняя скорость перемещения — это векторная величина, равная отношению вектора перемещения $\Delta\vec{r}$ ко времени $\Delta t_1$, за которое это перемещение произошло. Модуль средней скорости, соответственно, равен:

$|⟨\vec{v}⟩| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t_1}$

1. Найдем промежуток времени $\Delta t_1$, за который точка совершит $\frac{3}{4}$ оборота. Поскольку время одного полного оборота (период) равно $T$, то время для $N_1$ оборота будет:

$\Delta t_1 = N_1 \cdot T = \frac{3}{4} \cdot 2,0 \text{ с} = 1,5 \text{ с}$

2. Теперь найдем модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$. Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки. Пусть точка начинает движение из положения А. Через $\frac{3}{4}$ оборота она окажется в положении В. Угол поворота составит $270^\circ$.

Для наглядности поместим центр окружности в начало координат (0,0). Пусть начальная точка A имеет координаты $(R, 0)$. Тогда через $\frac{3}{4}$ оборота (против часовой стрелки) конечная точка B будет иметь координаты $(0, -R)$.

Вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ соединяет точки A и B. Его модуль (длину) можно найти по теореме Пифагора как расстояние между двумя точками, или как гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами, равными радиусу $R$.

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - R)^2 + (-R - 0)^2} = \sqrt{(-R)^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса:

$|\Delta\vec{r}| = 1,0 \text{ м} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ м}$

3. Теперь мы можем рассчитать модуль средней скорости перемещения:

$|⟨\vec{v}⟩| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t_1} = \frac{\sqrt{2} \text{ м}}{1,5 \text{ с}} = \frac{\sqrt{2}}{3/2} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Вычислим числовое значение, учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$|⟨\vec{v}⟩| \approx \frac{2 \cdot 1,414}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \frac{2,828}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0,9427 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$|⟨\vec{v}⟩| \approx 0,94 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $|⟨\vec{v}⟩| = \frac{2\sqrt{2}}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0,94 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.