Номер 97, страница 26 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Период обращения: $T$

Промежуток времени: $t = \frac{2T}{3}$

Найти:

Отношение $\frac{s}{\Delta r}$

Решение

Материальная точка движется равномерно по окружности. Пусть радиус окружности равен $R$.

1. Найдем путь $s$, пройденный точкой за время $t$.

Скорость точки при равномерном движении по окружности постоянна и равна $v = \frac{L}{T}$, где $L=2\pi R$ – длина окружности.

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Путь, пройденный за время $t$, равен:

$s = v \cdot t = \frac{2\pi R}{T} \cdot \frac{2T}{3} = \frac{4\pi R}{3}$

2. Найдем модуль перемещения $\Delta r$ за то же время $t$.

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки. Его модуль равен длине хорды, стягивающей дугу, по которой двигалась точка.

За время, равное периоду $T$, точка совершает полный оборот на угол $2\pi$ радиан. За время $t=\frac{2T}{3}$ точка повернется на угол $\phi$:

$\phi = \frac{t}{T} \cdot 2\pi = \frac{2T/3}{T} \cdot 2\pi = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ радиан.

Это соответствует углу $240^\circ$.

Для нахождения длины хорды (модуля перемещения) рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными в начальную и конечную точки, и самой хордой. Угол между радиусами равен $\phi = \frac{4\pi}{3}$. По теореме косинусов:

$(\Delta r)^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\phi) = 2R^2(1 - \cos(\phi))$

Подставим значение угла:

$(\Delta r)^2 = 2R^2(1 - \cos(\frac{4\pi}{3}))$

Поскольку $\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим:

$(\Delta r)^2 = 2R^2(1 - (-\frac{1}{2})) = 2R^2(1 + \frac{1}{2}) = 2R^2 \cdot \frac{3}{2} = 3R^2$

Отсюда модуль перемещения:

$\Delta r = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

3. Найдем искомое отношение $\frac{s}{\Delta r}$.

$\frac{s}{\Delta r} = \frac{\frac{4\pi R}{3}}{R\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$