Номер 105, страница 27 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус диска: $R$

Частота вращения: $\nu = \frac{1}{2\pi} \text{ с}^{-1}$

Начальное расстояние тела от оси вращения: $l = \frac{R}{2}$

Трение отсутствует.

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Для решения задачи перейдем в неинерциальную систему отсчета, вращающуюся вместе с диском. В этой системе на тело действует центробежная сила инерции, направленная радиально от центра диска. Величина этой силы зависит от расстояния $r$ до центра:

$F_{цб} = m a_{цб} = m \omega^2 r$

где $m$ — масса тела, а $\omega$ — угловая скорость вращения диска.

Угловая скорость связана с частотой $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Подставим заданное значение частоты:

$\omega = 2\pi \cdot \frac{1}{2\pi} = 1 \text{ рад/с}$

Под действием центробежной силы тело приобретает радиальное ускорение $a_r$. Согласно второму закону Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

$m a_r = F_{цб} = m \omega^2 r$

Отсюда радиальное ускорение тела равно $a_r = \omega^2 r$.

Поскольку ускорение зависит от координаты $r$, движение является неравноускоренным. Запишем ускорение как вторую производную от координаты по времени, $a_r = \frac{d^2r}{dt^2}$, и получим дифференциальное уравнение движения:

$\frac{d^2r}{dt^2} = \omega^2 r$ или $\frac{d^2r}{dt^2} - \omega^2 r = 0$

Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

$r(t) = C_1 e^{\omega t} + C_2 e^{-\omega t}$

Константы интегрирования $C_1$ и $C_2$ находятся из начальных условий. В начальный момент времени $t=0$:

1. Тело находится на расстоянии $r(0) = l = \frac{R}{2}$.

2. Начальная радиальная скорость тела равна нулю, так как оно начинает скользить из состояния покоя относительно диска: $v_r(0) = \left.\frac{dr}{dt}\right|_{t=0} = 0$.

Найдем выражение для скорости, продифференцировав $r(t)$ по времени:

$v_r(t) = \frac{dr}{dt} = C_1 \omega e^{\omega t} - C_2 \omega e^{-\omega t}$

Подставим начальные условия:

Из $r(0) = \frac{R}{2} \Rightarrow C_1 e^0 + C_2 e^0 = C_1 + C_2 = \frac{R}{2}$

Из $v_r(0) = 0 \Rightarrow \omega(C_1 e^0 - C_2 e^0) = \omega(C_1 - C_2) = 0 \Rightarrow C_1 = C_2$

Решая систему уравнений, получаем: $2C_1 = \frac{R}{2} \Rightarrow C_1 = \frac{R}{4}$. Следовательно, $C_1 = C_2 = \frac{R}{4}$.

Закон движения тела по радиусу:

$r(t) = \frac{R}{4} e^{\omega t} + \frac{R}{4} e^{-\omega t} = \frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$

Это выражение можно записать через гиперболический косинус $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$:

$r(t) = \frac{R}{2} \cosh(\omega t)$

Тело соскользнет с диска в момент времени $\Delta t$, когда его координата $r$ станет равна радиусу диска $R$:

$r(\Delta t) = R \Rightarrow \frac{R}{2} \cosh(\omega \Delta t) = R$

$\cosh(\omega \Delta t) = 2$

Выразим $\Delta t$. Для этого решим уравнение $\frac{e^{\omega \Delta t} + e^{-\omega \Delta t}}{2} = 2$.

Пусть $x = e^{\omega \Delta t}$. Тогда $x + \frac{1}{x} = 4$, что приводит к квадратному уравнению $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Так как $\Delta t > 0$, то $x = e^{\omega \Delta t} > 1$. Поэтому выбираем корень $x = 2 + \sqrt{3}$.

$e^{\omega \Delta t} = 2 + \sqrt{3}$

Прологарифмировав обе части, получим:

$\omega \Delta t = \ln(2 + \sqrt{3})$

$\Delta t = \frac{1}{\omega} \ln(2 + \sqrt{3})$

Подставим численное значение $\omega = 1 \text{ рад/с}$:

$\Delta t = \ln(2 + \sqrt{3}) \text{ с}$

Ответ:

$\Delta t = \ln(2 + \sqrt{3})$ с.